Окружность встречается в повседневной жизни не реже, чем прямоугольник. А у многих людей задача о том, как рассчитать длину окружности, вызывает затруднение. И все потому, что у нее нет углов. При их наличии все стало бы намного проще.
Что такое окружность и где она встречается?
Эта плоская фигура представляет собой некоторое количество точек, которые расположены на одинаковом удалении от еще одной, которая является центром. Это расстояние называется радиусом.
В повседневной жизни нечасто приходится вычислять длину окружности, кроме людей, которые являются инженерами и конструкторами. Они создают проекты механизмов, в которых используются, например, шестеренки, иллюминаторы и колеса. Архитекторы создают дома, имеющие круглые или арочные окна.
В каждом из этих и других случаях требуется своя точность. Причем высчитать длину окружности совершенно точно оказывается невозможно. Связано это с бесконечностью основного числа, имеющегося в формуле. «Пи» до сих пор уточняется. И используется чаще всего округленное значение. Степень точности выбирается такой, чтобы дать максимально верный ответ.
Обозначения величин и формулы
Теперь легко ответить на вопрос о том, как рассчитать длину окружности по радиусу, для этого потребуется такая формула:
Поскольку радиус и диаметр связаны друг с другом, то есть и другая формула для расчетов. Так как радиус в два раза меньше, то выражение немного видоизменится. И формула того, как рассчитать длину окружности, зная диаметр, будет следующей:
l = π * d.
Как быть, если нужно вычислить периметр круга?
Просто вспомнить, что круг включает в себя все точки внутри окружности. А значит, его периметр совпадает с ее длиной. И после того, как рассчитать длину окружности, поставить знак равенства с периметром круга.
Кстати, и обозначения у них такие же. Это касается радиуса и диаметра, а периметром является латинская буква P.
Примеры заданий
Задача первая
Условие. Узнать длину окружности, радиус которой равен 5 см.
Решение. Здесь несложно понять, как рассчитать длину окружности. Нужно только воспользоваться первой формулой. Поскольку радиус известен, то потребуется только подставить значения и сосчитать. 2 умноженное на радиус, равный 5 см, даст 10. Осталось еще умножить его на значение π. 3,14 * 10 = 31,4 (см).
Ответ: l = 31,4 см.
Задача вторая
Условие. Имеется колесо, длина окружности которого известна и равна 1256 мм. Необходимо вычислить его радиус.
Решение. В этом задании потребуется воспользоваться той же формулой. Но только известную длину нужно будет разделить на произведение 2 и π. Получается, что произведение даст результат: 6,28. После деления остается число: 200. Это искомая величина.
Ответ: r = 200 мм.
Задача третья
Условие. Вычислить диаметр, если известна длина окружности, которая равна 56,52 см.
Решение. Аналогично предыдущей задаче потребуется разделить известную длину на значение π, округленное до сотых. В результате такого действия получается число 18. Результат получен.
Ответ: d = 18 см.
Задача четвертая
Условие. Стрелки часов имеют длину 3 и 5 см. Нужно вычислить длины окружностей, которые описывают их концы.
Решение. Поскольку стрелки совпадают с радиусами окружностей, то потребуется первая формула. Ею нужно воспользоваться два раза.
Для первой длины произведение будет состоять из множителей: 2; 3,14 и 3. Итогом будет число 18,84 см.
Для второго ответа нужно перемножить 2, π и 5. Произведение даст число: 31,4 см.
Ответ: l 1 = 18,84 см, l 2 = 31,4 см.
Задача пятая
Условие. Белка бегает в колесе диаметром 2 м. Какое расстояние она пробегает за один полный оборот колеса?
Решение. Это расстояние равно длине окружности. Поэтому нужно воспользоваться подходящей формулой. А именно перемножить значение π и 2 м. Подсчеты дают результат: 6,28 м.
Ответ: Белка пробегает 6,28 м.
Часто звучит, как часть плоскости, которая ограничена окружностью. Окружность круга является плоской замкнутой кривой. Все точки, расположенные на кривой, удалены от центра круга на одинаковое расстояние. В круге его длина и периметр одинаковы. Соотношение длины любой окружности и ее диаметра постоянное и обозначается числом π = 3,1415 .
Определение периметра круга
Периметр круга радиуса r равен удвоенному произведению радиуса r на число π(~3.1415)
Формула периметра круга
Периметр круга радиуса \(r\) :
\[ \LARGE{P} = 2 \cdot \pi \cdot r \]
\[ \LARGE{P} = \pi \cdot d \]
\(P \) – периметр (длина окружности).
\(r \) – радиус.
\(d \) – диаметр.
Окружностью будем называть такую геометрическую фигуру, которая будет состоять из всех таких точек, которые находятся на одинаковом расстоянии от какой-либо заданной точки.
Центром окружности будем называть точку, которая задается в рамках определения 1.
Радиусом окружности будем называть расстояние от центра этой окружности до любой ее точки.
В декартовой системе координат \(xOy \) мы также можем ввести уравнение любой окружности. Обозначим центр окружности точкой \(X \) , которая будет иметь координаты \((x_0,y_0) \) . Пусть радиус этой окружности равняется \(τ \) . Возьмем произвольную точку \(Y \) , координаты которой обозначим через \((x,y) \) (рис. 2).
По формуле расстояния между двумя точками в заданной нами системе координат, получим:
\(|XY|=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2} \)
С другой стороны, \(|XY| \) - это расстояние от любой точки окружности до выбранного нами центра. То есть, по определению 3, получим, что \(|XY|=τ \) , следовательно
\(\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}=τ \)
\((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=τ^2 \) (1)
Таким образом, мы и получаем, что уравнение (1) является уравнением окружности в декартовой системе координат.
Длина окружности (периметр круга)
Будем выводить длину произвольной окружности \(C \) с помощью её радиуса, равного \(τ \) .
Будем рассматривать две произвольные окружности. Обозначим их длины через \(C \) и \(C" \) , у которых радиусы равняются \(τ \) и \(τ" \) . Будем вписывать в эти окружности правильные \(n \) -угольники, периметры которых равняются \(ρ \) и \(ρ" \) , длины сторон которых равняются \(α \) и \(α" \) , соответственно. Как мы знаем, сторона вписанного в окружность правильного \(n \) – угольника равняется
\(α=2τsin\frac{180^0}{n} \)
Тогда, будем получать, что
\(ρ=nα=2nτ\frac{sin180^0}{n} \)
\(ρ"=nα"=2nτ"\frac{sin180^0}{n} \)
\(\frac{ρ}{ρ"}=\frac{2nτsin\frac{180^0}{n}}{2nτ"\frac{sin180^0}{n}}=\frac{2τ}{2τ"} \)
Получаем, что отношение \(\frac{ρ}{ρ"}=\frac{2τ}{2τ"} \) будет верным независимо от значения числа сторон вписанных правильных многоугольников. То есть
\(\lim_{n\to\infty}(\frac{ρ}{ρ"})=\frac{2τ}{2τ"} \)
С другой стороны, если бесконечно увеличивать число сторон вписанных правильных многоугольников (то есть \(n→∞ \) ), будем получать равенство:
\(lim_{n\to\infty}(\frac{ρ}{ρ"})=\frac{C}{C"} \)
Из последних двух равенств получим, что
\(\frac{C}{C"}=\frac{2τ}{2τ"} \)
\(\frac{C}{2τ}=\frac{C"}{2τ"} \)
Видим, что отношение длины окружности к его удвоенному радиусу всегда одно и тоже число, независимо от выбора окружности и ее параметров, то есть
\(\frac{C}{2τ}=const \)
Эту постоянную принять называть числом «пи» и обозначать \(π \) . Приближенно, это число будет равняться \(3,14 \) (точного значения этого числа нет, так как оно является иррациональным числом). Таким образом
\(\frac{C}{2τ}=π \)
Окончательно, получим, что длина окружности (периметр круга) определяется формулой
\(C=2πτ \)
В вашем браузере отключен Javascript.Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!
Одной линейкой здесь не обойтись, необходимо знать специальные формулы. Единственное, что от нас потребуется - это определить диаметр или радиус круга. В некоторых задачах эти величины обозначены. Но что делать, если у нас нет ничего, кроме рисунка? Не беда. Диаметр и радиус можно вычислить с помощью обычной линейки. Теперь приступим к самому основному.
Формулы, которые должен знать каждый
Еще в почти 4 000 лет назад, учёные выявили удивительное соотношение: если длину окружности разделить на ее диаметр, то получается одно и то же число, которое равно примерно 3,14. Это значение назвали именно с этой буквы в древнегреческом языке начиналось слово «периметр» и «окружность». На основании того открытия, которое совершили древние ученые, можно рассчитать длину любой окружности:
Где P означает длину (периметр) окружности,
D - диаметр, П - число "Пи".
Длина окружности круга может также быть посчитана через ее радиус (r), который равен половине длины диаметра. Вот и вторая формула, которую нужно запомнить:
Как узнать диаметр окружности?
Представляет собой хорду, которая проходит через центр фигуры. При этом она соединяет две наиболее удалённые точки в круге. Исходя из этого, можно самостоятельно прочертить диаметр (радиус) и измерить его длину с помощью линейки.
Способ 1: вписываем прямоугольный треугольник в круг
Рассчитать длину окружности будет несложно, если мы найдем ее диаметр. Необходимо начертить в круге где гипотенуза будет равна диаметру окружности. Для этого необходимо иметь под рукой линейку и угольник, иначе ничего не получится.
Способ 2: вписываем любой треугольник
На стороне круга отмечаем три любые точки, соединяем их - получаем треугольник. Важно, чтобы центр окружности лежал в области треугольника, это можно сделать на глаз. Проводим к каждой стороне треугольника медианы, точка их пересечения совпадёт с центром окружности. А когда нам известен центр, можно с помощью линейки легко провести диаметр.
Данный способ очень похож на первый, но может применяться при отсутствии угольника или в тех случаях, когда нет возможности чертить на фигуре, например на тарелке. Необходимо взять лист бумаги с прямыми углами. Прикладываем лист к кругу так, чтобы одна вершина его угла соприкасалась с краем круга. Далее отмечаем точками места, где стороны бумаги пересекаются с линией окружности. Соединяем эти точки с помощью карандаша и линейки. Если под рукой ничего нет, просто согните бумагу. Эта линия и будет равна длине диаметра.
Пример задачи
- Ищем диаметр с помощью угольника, линейки и карандаша по способу № 1. Предположим, получилось 5 см.
- Зная диаметр, мы легко можем его вставить в нашу формулу: P = d П = 5*3,14 = 15,7В нашем случае получилось около 15,7. Теперь вы без особых проблем сможете объяснить, как рассчитать длину окружности.
Очень часто при решении школьных заданий по или физике возникает вопрос - как найти длину окружности, зная диаметр? На самом деле никаких сложностей в решении этой проблемы нет, нужно только чётко представлять себе, какие формулы , понятия и определения требуются для этого.
Вконтакте
Основные понятия и определения
- Радиус - это линия, соединяющая центр окружности и её произвольную точку . Он обозначается латинской буквой r.
- Хордой называется линия, соединяющая две произвольные точки лежащие на окружности .
- Диаметр - это линия, соединяющая два пункта окружности и проходящая через её центр . Он обозначается латинской буквой d.
- - это линия, состоящая из всех точек, находящихся на равном расстоянии от одной избранной точки, именуемой её центром. Её длину будем обозначать латинской буквой l.
Площадь круга - это вся территория, заключённая внутри окружности . Она измеряется в квадратных единицах и обозначается латинской буквой s.
Пользуясь нашими определениями, приходим к выводу, что диаметр круга равен его самой большой хорде.
Внимание! Из определения, что такое радиус круга можно узнать, что такое диаметр круга. Это два радиуса отложенные в противоположных направлениях!
Диаметр окружности.
Нахождение длины окружности и её площади
Если нам дан радиус окружности, то диаметр окружности описывает формула d = 2*r . Таким образом, для ответа на вопрос, как найти диаметр круга, зная его радиус, достаточно последний умножить на два .
Формула длины окружности, выраженная через её радиус, имеет вид l = 2*П*r .
Внимание! Латинской буквой П (Пи) обозначается отношение длины окружности к её диаметру, и это есть непериодическая десятичная дробь. В школьной математике она считается заранее известной табличной величиной, равной 3,14!
Теперь перепишем предыдущую формулу, чтобы найти длину окружности через её диаметр, помня, в чём состоит его разница по отношению к радиусу. Получится: l = 2*П*r = 2*r*П = П*d.
Из курса математики известно, что формула, описывающая площадь окружности, имеет вид: s = П*r^2.
Теперь перепишем предыдущую формулу, чтобы найти площадь окружности через её диаметр. Получим,
s = П*r^2 = П*d^2/4.
Одним из самых сложных заданий в данной теме является определение площади круга через длину окружности и наоборот. Воспользуемся тем, что s = П*r^2 и l = 2*П*r. Отсюда получим r = l/(2*П). Подставим полученное выражение для радиуса в формулу для площади, получится: s = l^2/(4П) . Абсолютно аналогичным способом определяется и длина окружности через площадь круга.
Определение длины радиуса и диаметра
Важно! Прежде всего узнаем, как измерить диаметр. Это очень просто — проводим любой радиус, продлеваем его в противоположную сторону до пересечения с дугой. Циркулем отмеряем полученное расстояние и с помощью любого метрического инструмента узнаем искомое!
Ответим на вопрос, как узнать диаметр окружности, зная её длину. Для этого выразим его из формулы l = П*d. Получим d = l/П.
Мы уже знаем как из длины окружности можно найти её диаметр, точно также найдём и радиус.
l = 2*П*r, отсюда r = l/2*П. Вообще, чтобы узнать радиус, его нужно выражать через диаметр и наоборот.
Пусть теперь требуется определить диаметр, зная площадь окружности. Используем то, что s = П*d^2/4. Выразим отсюда d. Получится d^2 = 4*s/П . Для определения самого диаметра потребуется извлечь корень квадратный из правой части . Получится d = 2*sqrt(s/П).
Решение типовых заданий
- Узнаем, как найти диаметр, если дана длина окружности. Пусть она равняется 778,72 километра. Требуется найти d. d = 778,72/3,14 = 248 километров. Вспомним, что такое диаметр и сразу определим радиус, для этого определённое выше значение d разделим пополам. Получится r = 248/2 = 124 километра.
- Рассмотрим, как найти длину данной окружности, зная её радиус. Пусть r имеет значение 8 дм 7 см. Переведём это все в сантиметры, тогда r будет равняться 87 сантиметров. Воспользуемся формулой, как найти неизвестную длину круга. Тогда наше искомое будет равняться l = 2*3,14*87 = 546,36 см . Переведём наше полученное значение в целые числа метрических величин l = 546,36 см = 5 м 4 дм 6 см 3,6 мм.
- Пусть нам требуется определить площадь данной окружности по формуле через её известный диаметр. Пусть d = 815 метров. Вспомним формулу, как найти площадь окружности. Подставим сюда данные нам значения, получим s = 3,14*815^2/4 = 521416,625 кв. м.
- Теперь узнаем, как найти площадь круга, зная длину его радиуса. Пусть радиус равняется 38 см. Используем известную нам формулу. Подставим сюда данное нам по условию значение. Получится следующее: s = 3,14*38^2 = 4534,16 кв. см.
- Последним заданием определим площадь круга по известной длине окружности. Пусть l = 47 метров. s = 47^2/(4П) = 2209/12,56 = 175,87 кв. м.
Длина окружности
Таким образом, длину окружности (C ) можно вычислить, умножив константу π на диаметр (D ), или умножив π на удвоенный радиус, так как диаметр равен двум радиусам. Следовательно, формула длины окружности будет выглядеть так:
C = πD = 2πR
где C - длина окружности, π - константа, D - диаметр окружности , R - радиус окружности.
Так как окружность является границей круга , то длину окружности можно также назвать длиной круга или периметром круга.
Задачи на длину окружности
Задача 1. Найти длину окружности, если её диаметр равен 5 см.
Так как длина окружности равна π умноженное на диаметр, то длина окружности с диаметром 5 см будет равна:
C ≈ 3,14 · 5 = 15,7 (см)
Задача 2. Найти длину окружности, радиус которой равен 3,5 м.
Сначала найдём диаметр окружности, умножив длину радиуса на 2:
D = 3,5 · 2 = 7 (м)
теперь найдём длину окружности, умножив π на диаметр:
C ≈ 3,14 · 7 = 21,98 (м)
Задача 3. Найти радиус окружности, длина которой равна 7,85 м.
Чтобы найти радиус окружности по её длине, надо длину окружности разделить на 2π
Площадь круга
Площадь круга равна произведению числа π на квадрат радиуса. Формула нахождения площади круга :
S = πr 2
где S - площадь круга, а r - радиус круга.
Так как диаметр круга равен удвоенному радиусу, то радиус равен диаметру, разделённому на 2:
Задачи на площадь круга
Задача 1. Найти площадь круга, если его радиус равен 2 см.
Так как площадь круга равна π умноженное на радиус в квадрате, то площадь круга с радиусом 2 см будет равна:
S ≈ 3,14 · 2 2 = 3,14 · 4 = 12,56 (см 2)
Задача 2. Найти площадь круга, если его диаметр равен 7 см.
Сначала найдём радиус круга, разделив его диаметр на 2:
7: 2 = 3,5 (см)
теперь вычислим площадь круга по формуле:
S = πr 2 ≈ 3,14 · 3,5 2 = 3,14 · 12,25 = 38,465 (см 2)
Данную задачу можно решить и другим способом. Вместо того чтобы сначала находить радиус, можно воспользоваться формулой нахождения площади круга через диаметр:
| S = π | D 2 | ≈ 3,14 | 7 2 | = 3,14 | 49 | = | 153,86 | = 38,465 (см 2) |
| 4 | 4 | 4 | 4 |
Задача 3. Найти радиус круга, если его площадь равна 12,56 м 2 .
Чтобы найти радиус круга по его площади, надо площадь круга разделить π , а затем из полученного результата извлечь квадратный корень:
r = √S : π
следовательно радиус будет равен:
r ≈ √12,56: 3,14 = √4 = 2 (м)
Число π
Длину окружности предметов, окружающих нас, можно измерить с помощью сантиметровой ленты или верёвки (нитки), длину которой потом можно померить отдельно. Но в некоторых случаях померить длину окружности трудно или практически невозможно, например, внутреннюю окружность бутылки или просто длину окружности начерченной на бумаге. В таких случаях можно вычислить длину окружности, если известна длина её диаметра или радиуса.
Чтобы понять, как это можно сделать, возьмём несколько круглых предметов, у которых можно измерить и длину окружности и диаметр. Вычислим отношение длины к диаметру, в итоге получим следующий ряд чисел:
Из этого можно сделать вывод, что отношение длины окружности к её диаметру это постоянная величина для каждой отдельной окружности и для всех окружностей в целом. Это отношение и обозначается буквой π .
Используя эти знания, можно по радиусу или диаметру окружности находить её длину. Например, для вычисления длины окружности с радиусом 3 см нужно умножить радиус на 2 (так мы получим диаметр), а полученный диаметр умножить на π . В итоге, с помощью числа π мы узнали, что длина окружности с радиусом 3 см равна 18,84 см.