Применение формулы пика в современном мире. По математике на тему "Формула Пика"

25.09.2019

«Решение задач – практическое искусство, подобное

плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано;

научиться ему можно, только подражая хорошим

образцам и постоянно практикуясь»

(Д. Пойя).

Австрийский математик,

родился в еврейской семье.

Мать Йозефа Шляйзингер,

отец Адольф Йозеф Пик.

Пик Георг

10.08.1859 - 13.07.1942

Биографическая справка

Георг Александр Пик

был одарённым ребёнком, обучал отец, возглавлявший частный институт. В 16 лет Георг закончил школу и поступил в Венский университет. В 20 лет получил право преподавать физику и математику. Шестнадцатого апреля 1880 года под руководством Лео Кёнигсбергера Пик защитил докторскую диссертацию «О классе абелевых интегралов». В Немецком университете в Праге в 1888 году Пик получил место экстраординарного профессора математики, затем в 1892-м стал ординарным профессором. В 19001901 годах занимал пост декана философского факультета. С его именем связаны матрица Пика, интерполяция Пика Неванлинны, лемма Шварца Пика. 13 июля 1942 года Пик был депортирован в созданный нацистами в северной Чехии лагерь Терезиенштадт, где умер две недели спустя в возрасте 82 лет.

Пик Георг Александров

открыл формулу в 1899 году

S = B + Г /2-1

S – площадь многоугольника ,

Г – количество узлов сетки

В – количество узлов сетки

S =15 – 3 – 3 - 5/2=6,5 S = 6 + 3 /2-1=6,5

S = 20 - 2 - 3 – 1- 3/2 - 5/2 = 10 S = 9 + 4 /2 – 1 = 10

S = 20 – 2 - 1 - 2 - 1 - 1 - 5/2 - 3= 7,5 S = 6 + 5 /2 – 1 = 7,5

Найдите площадь трапеции ABCD,

Г = 10, В = 5,

= В + Г/2 – 1 = 5 + 10/2 – 1 =9

Найдите площадь прямоугольника ABCD,

считая стороны квадратных клеток равными 1.

Г = 6, В = 8,

S = В + Г/2 – 1 = 8 + 6/2 – 1 = 10

Найдем площадь ромба ABCD,

считая стороны квадратных клеток равными 1.

Г = 4, В = 7,

S= В + Г/2 – 1 = 7+4/2-1 = 8

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см × 1 см изображен треугольник (трапеция) (см. рисунок).

Найдите его площадь в квадратных сантиметрах:

Площадь фигуры,

вычисленная по формуле Пика,

равна площади фигуры,

вычисленной по формулам геометрии.

В задачах о фигурах на клетчатой бумаге узел - это угол клеточки.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Руководители:

Могутова Татьяна Михайловна
Дерюшкина Оксана Валерьевна

Девиз проекта:

“Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду.
а если хотите научиться решать задачи, то решайте их”.
Д. Пойя.

Выбор темы проекта не случаен. Способы нахождения площади многоугольника нарисованного на “клеточках” очень интересная тема.

Мы знаем разные способы выполнения таких заданий: способ сложения, способ вычитания и др.

Нас очень заинтересовала эта тема, мы изучили много литературы и к нашей огромной радости нашли еще один способ, способ не известный по школьной программе, но способ замечательный! Вычисление площади, используя формулу, выведенную австрийским ученым – математиком Георгом Пиком.

Мы решили изучить формулу Пика, при помощи которой выполнять задания на нахождении площади очень легко!

Цель исследования

1. Изучение формулы Пика.

2. Расширение знаний о многообразии задач на клетчатой бумаге, о приёмах и методах решения этих задач.

Задачи:

1. Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию

2. Проанализировать и систематизировать полученную информацию

3. Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала одноклассникам

4. Сделать выводы по результатам работы.

5. Подобрать наиболее интересные, наглядные примеры.

Методы исследования:

1. Моделирование

2. Построение

3. Анализ и классификация информации

4. Сравнение, обобщение

5. Изучение литературных и Интернет-ресурсов

Георг Пик – австрийский ученый – математик. Пик поступил в университет в Вене в 1875 году. Свою первую работу опубликовал в возрасте 17 лет. Круг его математических интересов был чрезвычайно широк. 67 его работ посвящены многим разделам математики, таким как: линейная алгебра, интегральное исчисление, геометрия, функциональный анализ, теория потенциала.

Широко известная Теорема появилась в сборнике работ Пика в 1899 году.

Теорема привлекла довольно большое внимание и начала вызывать восхищение своей простотой и элегантностью.

Формула Пика, формула вычисления площади многоугольника, изображенного на бумаге в клетку, полезна при решении заданий ЕГЭ и ОГЭ. Именно, поэтому, она нас очень заинтересовала.

Формула Пика - классический результат комбинаторной геометрии и геометрии чисел.

По теореме Пика площадь многоугольника равна:

Г: 2 + В – 1

Г – число узлов решетки на границе многоугольника

В – число узлов решетки внутри многоугольника.

Первым делом мы поставили задачу: изучить, что такое узлы решетки и как правильно вычислять их количество. Оказалось, это очень просто. Приведем несколько примеров.

Пусть дан произвольный треугольник. Узлы на границе изображены оранжевым цветом, узлы внутри изображены синим цветом. Найти узлы и подсчитать их количество очень легко.

В данном случае Г= 15, В = 35

Пример №2 Узлов на границе 18, т.е. Г = 18, узлов внутри 20, В = 20.

И еще один пример. Дан произвольный многоугольник. Считаем узлы на границе. Их 14. Узлом внутри многоугольника 43. Г = 14, В = 43.

С первой задачей мы справились!

Второй этап нашей работы: вычисление площадей многоугольников.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример №1.

Г = 14, В = 43, S = + 43 – 1 = 49

Пример №2.

Г = 11, В = 5, S = + 5 – 1 = 9,5

Пример №3.

Г = 15, В = 22, S = + 22 – 1 = 28,5

Пример №4.

Г = 8, В = 16, S = + 16 – 1 = 19

Пример №5

Г = 10, В = 30, S = + 30 – 1 = 34

На рассмотрение пяти примеров мы затратили всего 1-2 минуты. Вычислять площадь по формуле Пика не только быстро, но и очень легко!

Но перед нами встал очень серьезный вопрос:

Можно ли доверять теореме Пика?

Получаются ли одинаковые результаты при вычислении площадей разными способами?

Найдем площади многоугольников по формуле Пика и обычным способом, применяя формулы геометрии и способы достроения или разбиения на части. Вот какие результаты мы получили:

Пример №1.

Вычислим площадь многоугольника по формуле Пика:

Подсчитаем количество узлов на границе и внутри. Г = 3, В = 6.

Вычислим площадь: S = 6 + - 1 = 6,5

Достроим многоугольник до прямоугольника. Площадь прямоугольника равна: 3 * 5 = 15, S? = = 3, S? = = 3 , S = = 2,5

S = 15-3-3-2,5 = 6,5

Результат одинаковый.

Пример №2.

Г = 4, В = 9, S = 9 + - 1 = 10

Достроим до прямоугольника.

Площадь прямоугольника равна: 5 * 4 = 20, S 1 = 2 * 1 = 2, S 2 = = 3,

S = = 2 , S = = 1,5, S = = 2,5

Площадь прямоугольника равна

S = 20 – 2 – 3 – 2 – 1,5 – 2,5 = 10

Мы снова получили одинаковые результаты.

Рассмотрим еще один пример.

Пример №3

Вычислим площадь по формуле Пика.

Г = 5, В = 6, S = 6 + - 1 = 7,5

Вычислим площадь, используя способ достроения.

Площадь прямоугольника равна 5·4 = 20

S 1 = 2 * 1 = 2, S 2 = = 1, S 3 = 2 * 1 = 2, S 4 = = 1, S 5 = = 1, S 6 = = 2,5

S = 20 – 2 -1– 2 – 1 – 1 – 2,5 – 3 = 7,5

Результат одинаковый.

В презентации мы рассмотрели три примера, но на самом деле мы рассмотрели очень много самых разных примеров. Результат всегда был один и тот же: Вычисление площади по формуле Пика и другими способами дает одинаковый результат.

Вывод: формуле Пика можно доверять! Она дает точный результат.

Мы довольны!

И еще один вопрос встал перед нами: какой способ вычисления наиболее рациональный, наиболее удобный для использования?

Чтобы ответить на этот вопрос, достаточно использовать всю предыдущую работу. Но рассмотрим еще три примера, которые окончательно позволят получить ответ на наш вопрос.

Пример №2

Пример №3

При помощи формулы Пика легко вычислить площадь многоугольника даже самой причудливой формы. Рассмотрим пример:

Вывод однозначный: наиболее рациональный способ вычисления площади многоугольника, изображенного на бумаге в клетку: формула Пика!

Предлагаем каждому из вас вычислить площадь многоугольника, используя формулу Пика:

Вычислите количество узлов на границе. Они изображены желтым цветом.

Вычислите количество узлов внутри, красный цвет.

Подставьте в формулу, назовите результат. Вы за одну минуту вычислили площадь.

Итак, формула Пика имеет ряд преимуществ перед другими способами вычисления площадей многоугольников на клетчатой бумаге:

Для вычисления площади многоугольника, нужно знать всего одну формулу:

S = Г:2 + В - 1.

Формула Пика очень проста для запоминания.

Формула Пика очень удобна и проста в применении.

Многоугольник, площадь которого необходимо вычислить, может быть любой, даже самой причудливой формы.

Применяя формулу Пика легко выполнять задание ЕГЭ и ОГЭ.

Приведем несколько примеров вычисления площади из вариантов ЕГЭ – 2015.

Мы решили научить пользоваться формулой Пика учащихся 9 – 11 классов нашей школы. Провели фестиваль “Формула Пика”.

Все учащиеся с большим интересом познакомились с презентацией, научились пользоваться формулой Пика.

За 30 минут практической работы учащиеся выполнили большое количество заданий. Каждый учащийся получил памятку “Формула Пика”.

Мы помогли им в подготовке к ЕГЭ и ОГЭ!

Спустя месяц работы, мы провели опрос учащихся 9–11 классом.

Задали следующие вопросы:

Вопрос №1:

Формула Пика – это рациональный способ вычисления площади многоугольника?

“Да” - 100% учащихся.

Вопрос №2:

Вы пользуетесь формулой Пика?

“Да” – 100% учащихся

Наша работа не прошла даром! Мы довольны!

Презентацию нашего проекта мы разместили в сети Интернет. Много просмотров и скачиваний нашей работы.

Мы оформили альбом “Формула Пика”. Им постоянно, особенно первое время, пользовались учащиеся нашей школы.

Результаты работы над проектом:

В процессе работы над проектом изучили справочную, научно-популярную литературу по теме исследования.

Изучили теорему Пика, научились находить площади фигур, изображенных на бумаге в клетку просто и рационально.
Расширили свои знания о решении задач на клетчатой бумаге, определили для себя классификацию исследуемых задач, убедились в их многообразии.
Провели для учащихся 9–11 фестиваль “Формула Пика”, научили их находить площадь, использую эту формулу. Подобрали много интересных примеров.
Создали электронную презентацию в помощь своим ровесникам.
Оформили альбом “Формула Пика”, который постоянно используют учащиеся школы.

Предлагает вам выполнить два задания, чтобы вы убедились в рациональности нашей работы.

Спасибо за внимания!

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Я, ученик 6 класса. Изучать геометрию начал ещё с прошлого года, ведь занимаюсь я в школе по учебнику «Математика. Арифметика. Геометрия» под редакцией Е.А. Бунимович, Л.В.Кузнецова, С.С. Минаева и другие.

Наибольшее мое внимание привлекли темы «Площади фигур», « Составление формул». Я заметил, что площади одних и тех же фигур можно находить различными способами. В быту мы часто сталкиваемся с задачами нахождения площади. Например, найти площадь пола, который придется покрасить. Любопытно ведь, чтобы купить необходимое количество обоев для ремонта, нужно знать размеры комнаты, т.е. площадь стен. Вычисление площади квадрата, прямоугольника и прямоугольного треугольника не вызывало у меня затруднений.

Заинтересовавшись этой темой, я начал искать дополнительный материал в Интернете. В результате поисков я натолкнулся на формулу Пика- это формула для вычисления площади многоугольника, нарисованного на клетчатой бумаге. Вычисление площади по этой формуле мне показалось доступным любому ученику. Именно поэтому я решил провести исследовательскую работу.

Актуальность темы:

Данная тема является дополнением и углублением изучения курса геометрии.

Изучение данной темы поможет лучше подготовиться к олимпиадам и экзаменам.

Цель работы:

Ознакомиться с формулой Пика.

Овладеть приемами решений геометрических задач с использованием формулы Пика.

Систематизировать и обобщить теоретический и практический материалы.

Задачи исследования:

Проверить эффективность и целесообразность применения формулы при решении задач.

Научиться применять формулу Пика в задачах разной сложности.

Сравнить задачи, решенные с помощью формулы Пика и традиционным способом.

Основная часть

1.1. Историческая справка

Георг Алекса́ндр Пик - австрийский математик, родился 10 августа 1859 года. Он был одарённым ребёнком, его обучал отец, возглавлявший частный институт. В 16 лет Георг закончил школу и поступил в Венский университет. В 20 лет получил право преподавать физику и математику. Всемирную известность ему принесла формула для определения площади решетки полигонов. Свою формулу он опубликовал в статье в 1899 году. Она стала популярной, когда польский ученый Хьюго Штейнгауз включил ее в 1969 году в издание математических снимков.

Георг Пик получил образование в Венском университете и защитил кандидатскую в 1880 году. После получения докторской степени он был назначен помощником Эрнеста Маха в Шерльско- Фердинандском университете в Праге. Там же он стал преподавателем. Он оставался в Праге до своей отставки в 1927 году, а затем вернулся в Вену.

Пик возглавлял комитет в немецком университете Праги, который назначил Эйнштейна профессором кафедры математической физики в 1911 году.

Он был избран членом Чешской академии наук и искусств, но был исключен после захвата нацистами Праги.

Когда нацисты вошли в Австрию 12 марта 1938 года, он вернулся Прагу. В марте 1939 года нацисты вторглись в Чехословакию. 13 июля 1942 года Пик был депортирован в созданный нацистами в северной Чехии лагерь Терезиенштадт, где умер две недели спустя в возрасте 82 лет.

1.2. Исследование и доказательство

Свою исследовательскую работу я начал с выяснения вопроса: площади каких фигур я смогу найти? Составить формулу для вычисления площади различных треугольников и четырехугольников я мог. А как же быть с пяти-, шести-, и вообще с многоугольниками?

В ходе исследования на различных сайтах я увидел решения задач на вычисление площади пяти-, шести-, и других многоугольников. Формула, позволяющая решать данные задачи, называлась формулой Пика. Она выглядит так:S=B+Г/2-1 , где В - количество узлов, лежащих внутри многоугольника, Г - количество узлов, лежащих на границе многоугольника. Особенность данной формулы состоит в том, что её можно применять только для многоугольников, нарисованных на клетчатой бумаге.

Любой такой многоугольник легко разбить на треугольники с вершинами в узлах решётки, не содержащие узлов ни внутри, ни на сторонах. Можно показать, что площади всех этих треугольников одинаковы и равны ½, а следовательно, площадь многоугольника равна половине их числа Т.

Чтобы найти это число, обозначим через n число сторон многоугольника, через В - число узлов внутри него,через Г - число узлов на сторонах, включая вершины. Общая сумма углов всех треугольников равна 180°. Т.

Теперь найдем сумму другим способом.

Сумма углов с вершиной в любом внутреннем узле составляет 2.180°, т.е. общая сумма углов равна 360°. В; общая сумма углов при узлах на сторонах, но не в вершинах равна (Г- n)180 °, а сумма углов при вершинах многоугольника будет равна (Г- 2)180 °. Таким образом, Т= 2.180°. В+(Г-n)180 °+(n-2)180 °. Выполнив раскрытие скобок и разделив на 360°, получаем формулу для площади S многоугольника, известную как формула Пика.

2. Практическая часть

Эту формулу решил проверить на заданиях из сборника ОГЭ-2017. Взял задачи на вычисление площади треугольника, четырехугольника и пятиугольника. Решил сравнить ответы, решая двумя способами: 1) дополнил фигуры до прямоугольника и из площади полученного прямоугольника вычел площадь прямоугольных треугольников; 2) применил формулу Пика.

S = 18-1,5-4,5 = 12 и S = 7+12/2-1= 12

S = 24-9-3 = 12 и S = 7+12/2-1 = 12

S = 77-7,5-12-4,5-4 =49 и S = 43+14/2-1 = 49

Сравнив полученное, делаю вывод, что обе формулы дают один и тот же ответ. Найти площадь фигуры по формуле Пика, оказалось быстрее и легче, ведь вычислений было меньше. Легкость решения и экономия времени на вычислениях мне пригодятся в будущем при сдаче ОГЭ.

Это подтолкнуло меня на проверку возможности применения формулы Пика на более сложных фигурах.

S = 0 + 4/2 -1 = 1

S = 5+11/2-1 = 9,5

S = 4+16/2-1 = 1

Заключение

Формула Пика проста в понимании и удобна в применении. Во-первых, достаточно уметь считать, делить на 2, складывать и вычитать. Во-вторых, можно найти площадь и сложной фигуры, не затратив много времени. В-третьих, эта формула работает для любого многоугольника.

Недостаток в том, что Формула Пика применима только для фигур, которые нарисованы на клетчатой бумаге и вершины лежат на узлах клеток.

Я уверен, что при сдаче выпускных экзаменов, задачи на вычисление площади фигур не будут вызывать затруднения. Ведь я уже знаком с формулой Пика.

Список литературы

Бунимович Е.А., Дорофеев Г.В., Суворова С.Б. и др. Математика. Арифметика. Геометрия. 5 класс: учебн. для общеобразоват. организаций с прил. на электрон. носителе -3-е изд.-М.: Просвещение, 2014.- 223, с. : ил. - (Сферы).

Бунимович Е.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С. и др. Математика. Арифметика. Геометрия. 6 класс: учебн. для общеобразоват. организаций-5-е изд.-М.: Просвещение, 2016.-240с. : ил.- (Сферы).

Васильев Н.Б. Вокруг формулы Пика. //Квант.- 1974.-№2. -с.39-43

Рассолов В.В. Задачи по планиметрии. / 5- изд.,испр. И доп. - М.: 2006.-640с.

И.В. Ященко.ОГЭ. Математика: типовые экзаменационные варианты: О-39 36 вариантов - М.: Издательство «Национальное образование», 2017. -240 с. - (ОГЭ. ФИПИ- школе).

«Решу ОГЭ»: математика. Обучающая система Дмитрия Гущина. ОГЭ-2017: задания, ответы, решения [Электронный ресурс]. Режим доступа: https://oge.sdamgia.ru/test?id=6846966 (дата обращения 02.04.2017)

Нарисуем на клетчатой бумаге какой-нибудь многоугольник. Например, такой, как показан на рисунке 1.

Попробуем теперь рассчитать его площадь. Как это сделать? Наверное, проще всего разбить его на прямоугольные треугольники и прямоугольники, площади которых уже нетрудно вычислить и сложить полученные результаты. Использованный мною способ несложен, но очень громоздок, кроме того он годится не для всяких многоугольников.

Рассмотрим невырожденный простой целочисленный многоугольник (т.е. он связный -- любые две его точки могут быть соединены непрерывной кривой, целиком в нем содержащейся, и все его вершины имеют целые координаты, его граница -- связная ломаная без самопересечений, и он имеет ненулевую площадь). Для вычисления площади такого многоугольника можно воспользоваться следующей теоремой:

Теорема Пика. Пусть -- число целочисленных точек внутри многоугольника, -- количество целочисленных точек на его границе, -- его площадь. Тогда справедлива формула Пика :

Пример. Для многоугольника на рисунке 1 (желтые точки), (синие точки, не забудьте о вершинах!), поэтому квадратных единиц.

Доказательство теоремы Пика. Сначала заметим, что формула Пика верна для единичного квадрата. Действительно, в этом случае мы имеем и

Рассмотрим прямоугольник со сторонами, лежащими на линиях решетки. Пусть длины его сторон равны и. Имеем в этом случае и, по формуле Пика,

Теперь рассмотрим произвольный треугольник. Его можно получить, отрезав от прямоугольника несколько прямоугольных треугольников и, возможно, прямоугольник (см. рисунки 2 и 3). Поскольку и для прямоугольника, и для прямоугольного треугольника формула Пика верна, мы получаем, что она будет справедлива и для произвольного треугольника.

Пусть многоугольник и треугольник имеют общую сторону. Предположим, что для формула Пика справедлива, докажем, что она будет верна и для многоугольника, полученного из добавлением. Так как и имеют общую сторону, то все целочисленные точки, лежащие на этой стороне, кроме двух вершин, становятся внутренними точками нового многоугольника. Вершины же будут граничными точками. Обозначим число общих точек через и получим

Число внутренних целочисленных точек нового многоугольника,

Число граничных точек нового многоугольника.

Из этих равенств получаем

Так как мы предположили, что теорема верна для и для по отдельности, то

Тем самым, формула Пика доказана.

Эту формулу открыл австрийский математик Пик Георг Александров (1859 - 1943 г.г.) в 1899 году. Кроме этой формулы Георг Пик открыл теоремы Пика, Пика - Жюлиа, Пика - Невалины, доказал неравенство Шварца - Пика. В Приложении 1 можно увидеть рассмотренные мною нестандартные задачи на применение формулы Пика.

Старкова Кристина, ученица 8Б класса

В работе рассмотрена теорема Пика и ее доказательство.

Рассмотрены задачи на нахождение площади многоугольников

Скачать:

Предварительный просмотр:

УПРАВЛЕНИЕ ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

АДМИНИСТРАЦИИ ЧАЙКОВСКОГО МУНИЦИПАЛЬНОГО РАЙОНА

ПЕРМСКОГО КРАЯ

VI МУНИЦИПАЛЬНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ РАБОТ
УЧАЩИХСЯ

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«средняя общеобразовательная школа №11»

СЕКЦИЯ: МАТЕМАТИКА

Применение формулы Пика

Учащаяся 8 «Б» класса

МАОУ СОШ №11Чайковский

Руководитель:Батуева Л,Н.,

Учитель математики МАОУ СОШ№11

г. Чайковский

2012 год

I. Введение……………………………………………………. 2

II. Формула Пика

2.1.Решетки.Узлы………………………………………… .4

2.2.Триангуляция многоугольника………………………5

2.3. Доказательство теоремы Пика………………………6

2.4 Исследование площадей многоугольников…………9

2.5. Вывод…………………………………………………..12

III.Геометрические задачи с практическим содержанием…13

IV. Заключение………………………………………………..14

V. Список используемой литературы………………………..16

Введение

Увлечение математикой часто начинается с размышления над какой-то задачей. Так при изучении темы «Площади многоугольников» встал вопрос есть ли задачи, отличные от задач рассмотренных в учебники геометрии. Это задачи на клетчатой бумаге. У нас возникали вопросы: в чём заключается особенность таких задач, существуют ли специальные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге. Увидев такие задачи в контрольно – измерительных материалах ЕГЭ и ГИА, решила обязательно исследовать задачи на клетчатой бумаге, связанные с нахождением площади изображённой фигуры.

Я приступила к изучению литературы, Интернет-ресурсов по данной теме. Казалось бы, что увлекательного можно найти на клетчатой плоскости, то есть, на бесконечном листке бумаги, расчерченном на одинаковые квадратики? Не судите поспешно. Оказывается, задачи, связанные с бумагой в клеточку, достаточно разнообразны. Я научилась вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке. Для многих задач на бумаге в клетку нет общего правила решения, конкретных способов и приёмов. Вот это их свойство обуславливает их ценность для развития не конкретного учебного умения или навыка, а вообще умения думать, размышлять, анализировать, искать аналогии, то есть, эти задачи развивают мыслительные навыки в самом широком их понимании.

Мы определили:

Объект исследования : задачи на клетчатой бумаге

Предмет исследования : задач на вычисление площади многоугольника на клетчатой бумаге, методы и приёмы их решения.

Методы исследования : моделирование, сравнение, обобщение, аналогии, изучение литературных и Интернет-ресурсов, анализ и классификация информации.

Цель исследования: Вывести и проверить формулы вычисления площадей геометрических фигур с помощью формулы Пика

Для достижения поставленной цели предусматриваем решение следующих задач:

Подобрать необходимую литературу
Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию
Проанализировать и систематизировать полученную информацию
Найти различные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге
Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала одноклассникам

многообразие задач на бумаге в клеточку, их «занимательность», отсутствие общих правил и методов решения вызывают у школьников затруднения при их рассмотрении

Гипотеза :. Площадь фигуры, вычисленная по формуле Пика равна площади фигуры, вычисленной по формуле планиметрии.

При решении задач на клетчатой бумаге нам понадобится геометрическое воображение и достаточно простые геометрические сведения, которые известны всем.

II. Формула Пика

2.1.Решетки.Узлы.

Рассмотрим на плоскости два семейства параллельных прямых, разбивающих плоскость на равные квадраты; множество всех точек пересечения этих прямых называется точечной решеткой или просто решеткой, а сами точки –узлами решетки.

Внутренние узлы многоугольника - красные.

Узлы на гранях многоугольника - синие.

Чтобы оценить площадь многоугольника на клетчатой бумаге, достаточно подсчитать, сколько клеток покрывает этот многоугольник (площадь клетки мы принимаем за единицу). Точнее, если S – площадь многоугольника, В - число клеток, которые целиком лежат внутри многоугольника, и Г - число клеток, которые имеют с внутренностью многоугольника хоть одну общую точку.

Будем рассматривать только такие многоугольники, все вершины которых лежат в узлах клетчатой бумаги – в таких, где пересекаются линии сетки.

Площадь любого треугольника, нарисованного на клетчатой бумаге, легко посчитать, представив её как сумму или разность площадей прямоугольных треугольников и прямоугольников, стороны которых идут по линиям сетки, проходящим через вершины нарисованного треугольника.

2.2.Триангуляция многоугольника

Любой многоугольник с вершинами в узлах сетки может быть триангулирован – разбит на «простые» треугольники.

Пусть на плоскости задан некоторый многоугольник и некоторое конечное множество К точек, лежащих внутри многоугольника и на его границе (причём все вершины многоугольника принадлежат множеству К ).

Триангуляцией с вершинами К называется разбиение данного многоугольника на треугольники с вершинами в множестве К такое, что каждая точка из К служит вершиной каждому из тех треугольников триангуляции, которым эта точка принадлежит (то есть точки из К не попадают внутрь или на стороны треугольников, рис. 1.37).

Рис. 1.37

Теорема 2 . а) Любой n -угольник можно разрезать диагоналями на треугольники, причём количество треугольников будет равно n – 2 (это разбиение – триангуляция с вершинами в вершинах n -угольника).

Рассмотрим невырожденный простой целочисленный многоугольник (т.е. он связный - любые две его точки могут быть соединены непрерывной кривой, целиком в нем содержащейся, и все его вершины имеют целые координаты, его граница - связная ломаная без самопересечений, и он имеет ненулевую площадь).

Для вычисления площади такого многоугольника можно воспользоваться следующей теоремой:

2.3. Доказательство теоремы Пика.

Пусть В - число целочисленных точек внутри многоугольника, Г - количество целочисленных точек на его границе, - его площадь. Тогда справедлива формула Пика : S=В+Г2-1

Пример. Для многоугольника на рисунке В=23 (желтые точки), Г=7, (синие точки, не забудем о вершинах!), поэтому квадратных единиц.

Сначала заметим, что формула Пика верна для единичного квадрата. Действительно, в этом случае мы имеем В=0, Г=4 и .

Рассмотрим прямоугольник со сторонами, лежащими на линиях решетки. Пусть длины его сторон равны и . Имеем в этом случае,В=(а-1)(b-1) , Г=2a+2b, тогда по формуле Пика,

Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник с катетами, лежащими на осях координат. Такой треугольник получается из прямоугольника со сторонами и , рассмотренного в предыдущем случае, разрезанием его по диагонали. Пусть на диагонали лежат целочисленных точек. Тогда для этого случая В=а-1)b-1 , 2 Г= Г=2a+2b 2 +с-1 и получаем, что 4)Теперь рассмотрим произвольный треугольник. Его можно получить, отрезав от прямоугольника несколько прямоугольных треугольников и, возможно, прямоугольник (см. рисунки). Поскольку и для прямоугольника, и для прямоугольного треугольника формула Пика верна, мы получаем, что она будет справедлива и для произвольного треугольника.

Остается сделать последний шаг: перейти от треугольников к многоугольникам. Любой многоугольник можно разбить на треугольники (например, диагоналями). Поэтому нужно просто доказать, что при добавлении любого треугольника к произвольному многоугольнику формула Пика остается верной. Пусть многоугольник и треугольник имеют общую сторону. Предположим, что для формула Пика справедлива, докажем, что она будет верна и для многоугольника, полученного из добавлением . Так как и имеют общую сторону, то все целочисленные точки, лежащие на этой стороне, кроме двух вершин, становятся внутренними точками нового многоугольника. Вершины же будут граничными точками. Обозначим число общих точек через и получим B=MT=BM+BT+c-2 - число внутренних целочисленных точек нового многоугольника, Г=Г(М)+Г(T)-2(с-2)-2 - число граничных точек нового многоугольника. Из этих равенств получаем: BM+BT+c-2 , Г=Г(М)+Г(T)-2(с-2)-2 . Так как мы предположили, что теорема верна для и для по отдельности, то S(MT)+S(M)+S(T)=(В(М)+ ГМ2 -1)+В(T)+ ГT2 -1)=(В(М)+ В(T))+( ГМ2+ГT2)-2 =Г(MT)-(c-2)+ B(MT)+2(c-2)+22 -2= Г(MT)+ B(MT)2-1 .Тем самым, формула Пика доказана.

2.4 Исследование площадей многоугольников.

2) На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен

треугольник.Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

Рисунок

По формуле геометрии

По формуле Пика

S=12ah

Sтр.ABD=1/2 AD ∙ BD=1/2 ∙ 2 ∙ 1=1

Sтр.BDC=1/2 DC ∙ BD=1/2 ∙ 3 ∙ 1=1,5

Sтр.ABC=Sтр.BDC-Sтр.ABD=

1,5-1=0,5

S= В+Г2-1

Г=3 ;В=0.

S=0+3/2-1=0,5

3)На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен четырех- угольник. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

Рисунок

По формуле геометрии

По формуле Пика

S=a∙b

Sкв.KMNE=7 ∙ 7=49

Sтр.AKB=1/2 ∙ KB ∙ AK=1/2 ∙ 4 ∙ 4=8

Sтр.AKB=Sтр.DCE=8

Sтр.AND= 1/2 ∙ ND ∙ AN=1/2 ∙ 3 ∙ 3=4,5

Sтр.AND=Sтр.BMC=4,5

Sпр.= Sкв.KMNE- Sтр.AKB- Sтр.DCE- Sтр.AND- Sтр.BMC=49-8-8-4,5-4,5=24

S= В+Г2-1

Г=14;В=19.

S=18+14/2-1=24

4)На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен
Рисунок	По формуле геометрии	По формуле Пика
	S1= 12a∙ b=1/2 ∙ 7 ∙1= 3,5 S2= 12a∙ b=1/2 ∙ 7 ∙ 2=7 S3= 12a∙ b=1/2 ∙ 4 ∙ 1=2 S4= 12a∙ b=1/2 ∙ 5 ∙ 1=2,5 S5=a²=1²=1 Sкв.= a²=7²=49 S=49-3.5-7-2-2,5-1=32см²	S= В+Г2-1 Г=5;В=31. S=31+ 42 -1=32см²
5)На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен четырех угольник. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
	S= a ∙b a=36+36=62 b=9+9=32 S= 62∙32 =36 см 2	S= В+Г2-1 Г=18, В=28 S=28+ 182 -1=36см 2
6)На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен четырех угольник. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах
	S1= 12a∙ b=1/2 ∙ 3 ∙ 3=4,5 S2= 12a∙ b=1/2 ∙ 6 ∙ 6=18 S3= 12a∙ b=1/2 ∙ 3 ∙ 3=4,5 S=4,5+18+4,5=27 см²	S= В+Г2-1 Г=18;В=28. S=28+ 182 -1=36см²
7)На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен четырех угольник. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах
	S1= 12a∙ b=1/2 ∙ 3 ∙ 3=4,5 S2= 12a∙ b=1/2 ∙ 6 ∙ 6=18 S3= 12a∙ b=1/2 ∙ 3 ∙ 3=4,5 S4= 12a∙ b=1/2 ∙ 6 ∙ 6=18 Sкв.=9²=81см² S=81-4,5-18-4,5-18=36см²	S= В+Г2-1 Г=18;В=28. S=28+ 182 -1=36см²

8)На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен

четырех угольник. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах

Рисунок

По формуле геометрии

По формуле Пика

S1= 12a∙ b=1/2 ∙ 2 ∙ 4=4

S2= 12ah =1/2 ∙ 4 ∙ 4=8

S3= 12ah =1/2 ∙ 8 ∙ 2=8

S4= 12ah =1/2 ∙ 4 ∙ 1=2

Sпр.= a∙ b=6 ∙ 8=48

S5=48-4-8-8-2=24 см²

S= Г+В2-1

Г=16;В=17.

S=17+ 162 -1=24 см²

Вывод

Сравнив результаты в таблицах и доказав теорему Пика,я пришла к выводу,что площадь фигуры, вычисленная по формуле Пика равна площади фигуры, вычисленной по выведенной формуле планиметрии

Итак, моя гипотеза оказалась верной

III.Геометрические задачи с практическим содержанием.

Поможет нам формула Пика и для решения геометрических задач с практическим содержанием.

Задача 9 . Найдите площадь лесного массива (в м²), изображённого на плане с квадратной сеткой 1 × 1(см) в масштабе 1 см – 200 м (рис. 10)

Решение.

Рис. 10 В = 8, Г = 7. S = 8 + 7/2 – 1 = 10,5 (см²)

1 см² - 200² м²; S = 40000 · 10,5 = 420 000 (м²)

Ответ: 420 000 м²

Задача 10 . Найдите площадь поля (в м²), изображённого на плане с квадратной сеткой 1 × 1(см) в масштабе 1 см – 200 м. (рис. 11)

Решение. Найдём S площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге по формуле Пика: S = В + - 1

В = 7, Г = 4. S = 7 + 4/2 – 1 = 8 (см²)

Рис. 11 1 см² - 200² м²; S = 40000 · 8 = 320 000 (м²)

Ответ: 320 000 м²

Заключение

В процессе исследования я изучила справочную, научно-популярную литературу, научилась работать в программе Notebook. Узнала, что

Задача на нахождение площади многоугольника с вершинами в узлах сетки с подвигла австрийского математика Пика в 1899 году доказать замечательную формулу Пика.

В результате моей работы я расширила свои знания о решении задач на клетчатой бумаге, определили для себя классификацию исследуемых задач, убедились в их многообразии.

Я научилась вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке Рассмотренные н задания имеют различный уровень трудности – от простых до олимпиадных. Каждый может найти среди них задачи посильного уровня сложности, отталкиваясь от которых, можно будет переходить к решению более трудных.

Я пришла к выводу, что тема, которая меня заинтересовала, достаточно многогранна, задачи на клетчатой бумаге многообразны, методы и приёмы их решения также разнообразны. Поэтому наша я решила продолжить работу в этом направлении.

Литература

1.Геометрия на клетчатой бумаге. Малый МЕХмат МГУ.

2.Жарковская Н. М., Рисс Е. А . Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика // Математика, 2009, № 17, с. 24-25.

3.Задачи открытого банка заданий по математике ФИПИ, 2010 – 2011

4.В.В.Вавилов, А.В.Устинов.Многоугольники на решетках.М.МЦНМО,2006.

5.Мтематические этюды. etudes.ru

6.Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.Геометрия.7-9 классы.М. Просвещение,2010