1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они являются параллельными:
Если a ||c и b ||c , то a ||b .
2. Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны:
Если a ⊥c и b ⊥c , то a ||b .
Остальные признаки параллельности прямых основаны на углах, образующихся при пересечении двух прямых третьей.
3. Если сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны:
Если ∠1 + ∠2 = 180°, то a ||b .
4. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны:
Если ∠2 = ∠4, то a ||b .
5. Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны:
Если ∠1 = ∠3, то a ||b .
Свойства параллельных прямых
Утверждения, обратные признакам параллельности прямых, являются их свойствами. Они основаны на свойствах углов, образованных пересечением двух параллельных прямых третьей прямой.
1. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, сумма образованных ими внутренних односторонних углов равна 180°:
Если a ||b , то ∠1 + ∠2 = 180°.
2. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, образованные ими соответственные углы равны:
Если a ||b , то ∠2 = ∠4.
3. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, образованные ими накрест лежащие углы равны:
Если a ||b , то ∠1 = ∠3.
Следующее свойство является частным случаем для каждого предыдущего:
4. Если прямая на плоскости перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой:
Если a ||b и c ⊥a , то c ⊥b .
Пятое свойство - это аксиома параллельности прямых:
5. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой.
Они не пересекаются, сколько бы их ни продолжали. Параллельность прямых на письме обозначают так: AB || С E
Возможность существования таких прямых доказывается теоремой.
Теорема.
Через всякую точку, взятую вне данной прямой, можно провести параллельную этой прямой .
Пусть AB данная прямая и С какая-нибудь точка, взятая вне ее. Требуется доказать, что через С можно провести прямую, параллельную AB . Опустим на AB из точки С перпендикуляр С D и затем проведем С E ^ С D , что возможно. Прямая CE параллельна AB .
Для доказательства допустим противное, т.е., что CE пересекается с AB в некоторой точке M . Тогда из точки M к прямой С D мы имели бы два различных перпендикуляра M D и MС , что невозможно. Значит, CE не может пересечься с AB , т.е. С E параллельна AB .
Следствие.
Два перпендикуляра (С E и DB ) к одной прямой (С D ) параллельны.
Аксиома параллельных линий.
Через одну и ту же точку нельзя провести двух различных прямых, параллельных одной и той же прямой.
Так, если прямая С D , проведенная через точку С параллельна прямой AB , то всякая другая прямая С E , проведенная через ту же точку С , не может быть параллельна AB , т.е. она при продолжении пересечется с AB .
Доказательство этой не вполне очевидной истины оказывается невозможным. Ее принимают без доказательства, как необходимое допущение (postulatum).
Следствия.
1. Если прямая (С E ) пересекается с одной из параллельных (СВ ), то она пересекается и с другой (AB ), потому что в противном случае через одну и ту же точку С проходили бы две различные прямые, параллельные AB , что невозможно.
2. Если каждая из двух прямых (A и B ) параллельны одной и той же третьей прямой (С ) , то они параллельны между собой.
Действительно, если предположить, что A и B пересекаются в некоторой точке M , то тогда через эту точку проходили бы две различные прямые, параллельные С , что невозможно.
Теорема .
Если прямая перпендикулярна к одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой параллельной .
Пусть AB || С D и EF ^ AB .Требуется доказать, что EF ^ С D .
Перпендикуляр E F , пересекаясь с AB , непременно пересечет и С D . Пусть точка пересечения будет H .
Предположим теперь, что С D не перпендикулярна к EH . Тогда какая-нибудь другая прямая, например HK , будет перпендикулярна к EH и, следовательно через одну и ту же точку H будут проходить две прямые параллельные AB : одна С D , по условию, а другая HK по доказанному раньше. Так как это невозможно, то нельзя допустить, что СВ была не перпендикулярна к EH .
Понятие параллельных прямых
Определение 1
Параллельные прямые – прямые, которые лежат в одной плоскости, не совпадают и не имеют общих точек.
Если у прямых есть общая точка, тогда они пересекаются .
Если все точки прямых совпадают , то имеем по сути одну прямую.
Если прямые лежат в разных плоскостях, то условий их параллельности несколько больше.
При рассмотрении прямых на одной плоскости можно дать следующее определение:
Определение 2
Две прямые на плоскости называют параллельными , если они не пересекаются.
В математике параллельные прямые принято обозначать с помощью знака параллельности « $\parallel$ ». Например, тот факт, что прямая $c$ параллельна прямой $d$ обозначается следующим образом:
$c \parallel d$.
Зачастую рассматривается понятие параллельных отрезков.
Определение 3
Два отрезка называют параллельными , если они лежат на параллельных прямых.
Например, на рисунке параллельными являются отрезки $AB$ и $CD$, т.к. они принадлежат параллельным прямым:
$AB \parallel CD$.
Вместе с тем, отрезки $MN$ и $AB$ или $МN$ и $CD$ параллельными не являются. Этот факт можно записать с помощью символов следующим образом:
$MN ∦ AB$ и $MN ∦ CD$.
Аналогичным образом определяется параллельность прямой и отрезка, прямой и луча, отрезка и луча или двух лучей.
Историческая справка
С греческого языка понятие «параллелос» переводится «рядом идущий» или «проведенный друг возле друга». Этот термин использовался в древней школе Пифагора еще до того, как параллельные прямые получили свое определение. Согласно историческим фактам Евклидом в $III$ в. до н.э. в его трудах все же был раскрыт смысл понятия параллельных прямых.
В древности знак для обозначения параллельных прямых имел отличный вид того, что мы используем в современной математике. Например, древнегреческим математиком Паппом в $III$ в. н.э. параллельность обозначалась с помощью знака равенства. Т.е. тот факт, что прямая $l$ параллельна прямой $m$ ранее обозначался «$l=m$». Позднее для обозначения параллельности прямых стали использовать привычный нам знак «$\parallel$, а знак равенства стали использовать для обозначения равенства чисел и выражений.
Параллельные прямые в жизни
Зачастую мы не замечаем, что в обычной жизни нас окружает огромное число параллельных прямых. Например, в нотной тетради и сборнике песен с нотами нотный стан выполнен с помощью параллельных линий. Также параллельные линии встречаются и в музыкальных инструментах (например, струны арфы, гитары, клавиши фортепиано и т.п.).
Электрические провода, которые расположены вдоль улиц и дорог, также проходят параллельно. Рельсы линий метро и железных дорог располагаются параллельно.
Кроме быта параллельные линии можно встретить в живописи, в архитектуре, при строительстве зданий.
Параллельные прямые в архитектуре
На представленных изображениях архитектурные сооружения содержат параллельные прямые. Использование параллельности прямых в строительстве помогает увеличить срок службы таких сооружений и придает им необычайную красоту, привлекательность и величие. Линии электропередач также умышленно проводятся параллельно, чтобы избежать их пересечения или соприкосновения, что привело бы к замыканию, перебоям и отсутствию электричества. Чтобы поезд мог беспрепятственно перемещаться рельсы также выполнены параллельными линиями.
В живописи параллельные линии изображают сводящимися в одну линию или близкими к тому. Такой прием называется перспективой, которая следует из иллюзии зрения. Если долго смотреть вдаль, то параллельные прямые будут похожи на две сходящиеся линии.
На вопрос 1.Дайте определение параллельных прямых. Какие два отрезка называются параллельными? заданный автором Cаша Нижевясов лучший ответ это которые на плоскости никогда не пересекутся
Ответ от Приспособленчество
[гуру]
Параллельными прямыми называются прямые, которые лежат в одной плоскости и либо совпадают, либо не пересекаются.
Ответ от Naumenko
[гуру]
отрезки. принадлежащие параллельным прямым. являются параллельными.
прямые на плоскости наз. параллельными. если они не пересекаются или совпадают.
Ответ от Невропатолог
[новичек]
Две прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие ни одной общей точки, называются параллельными
Ответ от Добросить
[мастер]
Ответ от Варвара Ламекина
[новичек]
две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются)
Ответ от Максим Иванов
[новичек]
Которые на плоскости не пересекутся.
Ответ от Sem2805
[активный]
две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются (7 класс)
Ответ от саша ключников
[новичек]
Параллельные прямые в евклидовой геометрии, прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. В абсолютной геометрии через точку, не лежащую на данной прямой, проходит хотя бы одна прямая, не пересекающая данную. В евклидовой геометрии существует только одна такая прямая. Этот факт равносилен V постулату Евклида (о параллельных) . В геометрии Лобачевского (см. Лобачевского геометрия) в плоскости через точку С (см. рис.) вне данной прямой AB проходит бесконечное множество прямых, не пересекающих AB. Из них параллельными к AB называются только две. Прямая CE называется параллельной прямой AB в направлении от А к В, если: 1) точки В и Е лежат по одну сторону от прямой AC;2) прямая CE не пересекает прямую AB;всякий луч, проходящий внутри угла ACE, пересекает луч AB.Аналогично определяется прямая CF,параллельная к AB в направлении от В к А.
Ответ от Анатолий Мишин
[новичек]
Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Ответ от Ўлия
[активный]
Параллельные прямые - это прямые, которые не пересекаются
Ответ от саид чараков
[новичек]
Параллельными называются две прямые, которые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.
Через точку можно провести только одну прямую параллельную данной плоскости.
Ответ от Ўлия Немтырева
[новичек]
Параллельными прямыми называются прямые, которые лежат в одной плоскости и либо совпадают, либо не пересекаются. ..Лобачевского геометрия) в плоскости через точку С (см. рис.) вне данной прямой AB проходит бесконечное множество прямых, не пересекающих AB. Из них параллельными к AB называются только две
Ответ от Оксана Тыщенко
[новичек]
Параллельные прямые - две прямые на плоскости, которые не пересекаются. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.
Признаки параллельности двух прямых
Теорема 1. Если при пересечении двух прямых секущей:
накрест лежащие углы равны, или
соответственные углы равны, или
сумма односторонних углов равна 180°, то
прямые параллельны (рис.1).
Доказательство. Ограничимся доказательством случая 1.
Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ накрест лежащие углы равны. Например, ∠ 4 = ∠ 6. Докажем, что а || b.
Предположим, что прямые а и b не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М и, следовательно, один из углов 4 или 6 будет внешним углом треугольника АВМ. Пусть для определенности ∠ 4 - внешний угол треугольника АВМ, а ∠ 6 - внутренний. Из теоремы о внешнем угле треугольника следует, что ∠ 4 больше ∠ 6, а это противоречит условию, значит, прямые а и 6 не могут пересекаться, поэтому они параллельны.
Следствие 1 . Две различные прямые на плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны (рис.2).
Замечание. Способ, которым мы только что доказали случай 1 теоремы 1, называется методом доказательства от противного или приведением к нелепости. Первое название этот способ получил потому, что в начале рассуждения делается предположение, противное (противоположное) тому, что требуется доказать. Приведением к нелепости он называется вследствие того, что, рассуждая на основании сделанного предположения, мы приходим к нелепому выводу (к абсурду). Получение такого вывода заставляет нас отвергнуть сделанное вначале допущение и принять то, которое требовалось доказать.
Задача 1. Построить прямую, проходящую через данную точку М и параллельную данной прямой а, не проходящей через точку М.
Решение. Проводим через точку М прямую р перпендикулярно прямой а (рис. 3).
Затем проводим через точку М прямую b перпендикулярно прямой р. Прямая b параллельна прямой а согласно следствию из теоремы 1.
Из рассмотренной задачи следует важный вывод:
через точку, не лежащую на данной прямой, всегда можно провести прямую, параллельную данной
.
Основное свойство параллельных прямых состоит в следующем.
Аксиома параллельных прямых. Через данную точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Рассмотрим некоторые свойства параллельных прямых, которые следуют из этой аксиомы.
1) Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую (рис.4).
2) Если две различные прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны (рис.5).
Справедлива и следующая теорема.
Теорема 2. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то:
накрест лежащие углы равны;
соответственные углы равны;
сумма односторонних углов равна 180°.
Следствие 2. Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой (см. рис.2).
Замечание. Теорема 2 называется обратной теореме 1. Заключение теоремы 1 является условием теоремы 2. А условие теоремы 1 является заключением теоремы 2. Не всякая теорема имеет обратную, т. е. если данная теорема верна, то обратная теорема может быть неверна.
Поясним это на примере теоремы о вертикальных углах. Эту теорему можно сформулировать так: если два угла вертикальные, то они равны. Обратная ей теорема была бы такой: если два угла равны, то они вертикальные. А это, конечно, неверно. Два равных угла вовсе не обязаны быть вертикальными.
Пример 1. Две параллельные прямые пересечены третьей. Известно, что разность двух внутренних односторонних углов равна 30°. Найти эти углы.
Решение. Пусть условию отвечает рисунок 6.