Выражение - это самый широкий математический термин. По существу, в этой науке из них состоит все, и все операции проводятся тоже над ними. Другой вопрос, что в зависимости от конкретного вида применяются совершенно разнообразные методы и приемы. Так, работа с тригонометрией, дробями или логарифмами - это три различных действия. Выражение, не имеющее смысла, может относится к одному из двух видов: числовому или алгебраическому. А вот что означает это понятие, как выглядит его пример и прочие моменты будут рассмотрены далее.
Числовые выражения
Если выражение состоит из чисел, скобок, плюсов-минусов и остальных знаков арифметических действий, его смело можно называть числовым. Что довольно логично: стоит только еще разок взглянуть на первый названный его компонент.
Числовым выражением может быть что угодно: главное, чтобы в нем не было букв. А под "чем угодно" в данном случае понимается все: от простой, стоящей одиноко, самой по себе, цифры, до огромного их перечня и знаков арифметических действий, требующих последующего вычисления конечного результата. Дробь - это тоже числовое выражение, если в ней нет всяких a, b, c, d и т.д., ведь тогда это совершенно другой вид, о котором будет рассказано чуть позже.
Условия для выражения, которое не имеет смысла
Когда задание начинается со слова "вычислить", можно говорить о преобразовании. Штука в том, что это действие не всегда целесообразно: в нем не то чтобы сильно нуждаются, если на передний план выходит выражение, не имеющее смысла. Примеры бесконечно удивительны: иногда, чтобы понять, что оно-то нас и настигло, приходится долго и нудно раскрывать скобки и считать-считать-считать...
Главное, что нужно запомнить: не имеет смысла то выражения, чей конечный результат сводится к запретному в математике действию. Если уж совсем по-честному, то тогда бессмысленным становится само преобразование, но для того, чтобы это выяснить, приходится его для начала выполнить. Такой вот парадокс!
Самое знаменитое, но от того не менее важное запретное математическое действие - это деление на ноль.
Потому вот, например, выражение, не имеющее смысла:
(17+11):(5+4-10+1).
Если при помощи нехитрых вычислений свести вторую скобку к одной цифре, то она и будет нулем.
По такому же принципу "почетное звание" дается и этому выражению:
(5-18):(19-4-20+5).
Алгебраические выражения
Это то же самое числовое выражение, если в него добавить запретные буквы. Тогда оно и становится полноценным алгебраическим. Оно также может быть всех размеров и форм. Алгебраическое выражение - понятие более широкое, включающее в себя предыдущее. Но был смысл начинать разговор не с него, а с числового, чтобы было понятнее и разобраться было легче. Ведь имеет ли смысл выражение алгебраическое - вопрос не то чтобы очень сложный, но имеющий больше уточнений.
Почему так?
Буквенное выражение, или выражение с переменными - это синонимы. Первый термин объяснить просто: ведь оно, в конце концов, содержит в себе буквы! Второй тоже не загадка века: вместо букв можно подставлять разные числа, вследствие чего значение выражения будет меняться. Нетрудно догадаться, что буквы в данном случае и есть переменные. По аналогии, числа - это постоянные.
И тут мы возвращаемся к основной тематике: не имеющее смысла?
Примеры алгебраических выражений, не имеющих смысла
Условие для бессмысленности алгебраического выражения - аналогичное, как и для числового, с одним лишь только исключением, а если быть точнее, дополнением. При преобразовании и вычислении конечного результата приходится учитывать переменные, поэтому вопрос ставится не как "какое выражение не имеет смысла?", а "при каком значении переменной это выражение не будет иметь смысла?" и "есть ли такое значение переменной, при котором выражение потеряет смысл?"
Например, (18-3):(a+11-9).
Вышеприведенное выражение не имеет смысла при a равном -2.
А вот насчет (a+3):(12-4-8) можно смело сказать, что это выражение, не имеющее смысла при любых a.
Точно так же, какое b ни подставишь в выражение (b - 11):(12+1), оно по-прежнему будет иметь смысл.
Типовые задачи по теме "Выражение, не имеющее смысла"
7 класс изучает эту тему по математике в числе прочих, и задания по ней встречаются нередко как непосредственно после соответствующего занятия, так и в качестве вопроса "с подвохом" на модулях и экзаменах.
Вот почему стоит рассмотреть типовые задачи и методы их решения.
Пример 1.
Имеет ли смысл выражение:
(23+11):(43-17+24-11-39)?
Необходимо произвести все вычисление в скобках и привести выражение к виду:
Конечный результат содержит следовательно, выражение не имеет смысла.
Пример 2.
Какие выражения не имеют смысла?
1) (9+3)/(4+5+3-12);
2) 44/(12-19+7);
3) (6+45)/(12+55-73).
Следует вычислить конечное значение для каждого из выражений.
Ответ: 1; 2.
Пример 3.
Найти область допустимых значений для следующих выражений:
1) (11-4)/(b+17);
2) 12/ (14-b+11).
Область допустимых значений (ОДЗ) - это все те числа, при подставлении которых вместо переменных выражение будет иметь смысл.
То есть задание звучит как: найти значения, при которых не будет деления на ноль.
1) b є (-∞;-17) & (-17; + ∞), или b>-17 & b<-17, или b≠-17, что значит - выражение имеет смысл при всех b, кроме -17.
2) b є (-∞;25) & (25; + ∞), или b>25 & b<25, или b≠25, что значит - выражение имеет смысл при всех b кроме 25.
Пример 4.
При каких значениях нижеприведенное выражение не будет иметь смысла?
Вторая скобка равна нулю при игреке равном -3.
Ответ: y=-3
Пример 4.
Какие из выражений не имеют смысла только при x = -14?
1) 14:(х - 14);
2) (3+8х):(14+х);
3) (х/(14+х)):(7/8)).
2 и 3, так как в первом случае, если подставить вместо х = -14, то вторая скобка приравняется -28, а не нулю, как звучит в определении не имеющего смысла выражения.
Пример 5.
Придумайте и запишите выражение, не имеющее смысла.
18/(2-46+17-33+45+15).
Алгебраические выражения с двумя переменными
Несмотря на то что у всех выражений, которые не имеют смысла, одна суть, существуют разные уровни их сложности. Так, можно сказать, что числовые - это примеры простые, ведь они легче, чем алгебраические. Трудности для решения добавляет и количество переменных у последних. Но и они не должны своим видом: главное - помнить общий принцип решения и применять его вне зависимости от того, похож ли пример на типовую задачу или имеет какие-то неизвестные дополнения.
Например, может возникнуть вопрос, как решить такое задание.
Найти и записать пару чисел, являющихся недопустимыми для выражения:
(x 3 - x 2 y 3 + 13x - 38y)/(12x 2 - y).
Варианты ответов:
Но на самом деле оно только выглядит страшным и громоздким, потому что на деле содержит в себе то, что уже давно известно: возведение чисел в квадрат и куб, некоторые арифметические действия, такие как деление, умножение, вычитание и сложения. Для удобства, между прочим, можно привести задачу к дробному виду.
Числитель у получившейся дроби не радует: (x 3 - x 2 y 3 + 13x - 38y). Это факт. Зато есть другой повод для счастья: его-то для решения задания трогать даже не понадобится! Согласно определению, рассмотренному ранее, делить нельзя на ноль, а что именно на него будет делиться, совершенно неважно. Потому оставляем это выражение в неизменном виде и подставляем пары чисел из данных вариантов в знаменатель. Уже третий пункт идеально вписывается, превращая небольшую скобочку в ноль. Но останавливаться на этом - плохая рекомендация, ведь подойти может еще что-нибудь. И вправду: пятый пункт тоже неплохо вписывается и подходит условию.
Записываем ответ: 3 и 5.
В заключение
Как видно, эта тема очень интересная и не особо сложная. Разобраться в ней не составит труда. Но все-таки отработать пару примеров никогда не помешает!
Как найти периметр прямоугольника, стороны которого равны 3 см и 5 см (рис. 67 )?
Отвечая на этот вопрос, вы можете сделать такую запись: 2 * 3 + 2 * 5 .
Такая запись представляет собой числовое выражение .
Приведем еще несколько примеров числовых выражений: 12 : 4 − 1, (5 + 17 ) + 11, (19 − 7 ) * 3 . Эти выражения составлены из чисел, знаков арифметических действия и скобок.
Заметим, что не всякая запись, составленная из чисел, знаков арифметических действия и скобок является числовым выражением. Например, запись +) +3 − (2 представляет собой бессмысленный набор символов.
Завершив решение задачи о периметре прямоугольника, получим ответ 16 см. В таких случаях говорят, что число 16 является значением выражения 2 * 3 + 2 * 5 .
А чему равен периметр прямоугольника, стороны которого равны 3 см и a см? Ответом будет выражение 2 * 3 + 2 * a.
Запись 2 * 3 + 2 * a представляет собой буквенное выражение .
Приведем еще несколько примеров буквенных выражений: (a + b) + 11, 5 + 3 * x, n: 2 − k * 5 . Эти выражения составлены из чисел, букв, знаков арифметических действий и скобок.
Как правило, в буквенных выражениях знак умножения пишут только между числами. В остальных случаях его опускают. Например, вместо 5 * y, m * n, 2 * (a + b) соответственно пишут 5 y, mn, 2 (a + b).
Пусть стороны прямоугольника равны a см и b см. В этом случае буквенное выражение для нахождения его периметра выглядит так: 2 a + 2 b.
Подставим в это выражение вместо букв a и b соответственно числа 3 и 5 . Получим числовое выражение 2 * 3 + 2 * 5, которое мы уже записывали для нахождения периметра прямоугольника. Если же вместо a и b подставить, например, числа 4 и 9, то получим числовое выражение 2 * 4 + 2 * 9 . Вообще, из одного буквенного выражения можно получить бесконечно много числовых выражений.
Обозначим периметр прямоугольника буквой P. Тогда равенство
P = 2 a + 2 b
можно использовать для нахождения периметра любого прямоугольника. Такие равенства называют формулами .
Например, если сторона квадрата равна a, то его периметр вычисляется по формуле:
P = 4 a
Равенство
s = vt
где s − пройденный путь, v − скорость движения, а t − время, за которое пройден путь s, называют формулой пути .
Пример 1 . Собранные в саду яблоки фермер разложил в пять ящиков по a кг и в b ящиков по 20 кг. Скоько килограммов яблок собрал фермер? Вычислите значение полученного выражения при a = 18, b = 9 .
В пяти ящиках содержится 5 a кг яблок, а в b ящиках − 20 b кг. Всего фермер собрал (5 a + 20 b) кг яблок.
Если a = 18, b = 9, то получаем: 5 * 18 + 20 * 9 = 90 + 180 = 270 (кг).
Ответ: (5 a + 20 b) кг, 270 кг.
Пример 2 . Найдите, ползуясь формулой пути, скорость, с которой поезд прошел 324 км за 6 ч.
Поскольку s = vt, то v = s: t. Тогда можно записать v = 324 : 6 = 54 (км/ч).
Ответ: 54 км/ч.
Пример 3 . Буратино купил m булочек по 2 сольдо и торт за 5 сольдо. Составим формулу для вычисления стоимости покупки и найдите эту стоимость, если:
1 ) m = 4 ;
2 ) m = 12 .
За m булочек Буратино заплатил 2 m сольдо.
Обозначив стоимость покупки буквой k, получаем формулу k = 2 m + 5 .
1 ) Если m = 4, то k = 2 * 4 + 5 = 13 ;
2 ) если m = 12, то k = 2 * 12 + 5 = 29 .
Ответ: k = 2 m + 5, 13 сольдо, 29 сольдо.
Одним из понятий алгебры 7 класса являются числовые выражения. Они используются для решения задач. Что собой представляют числовые выражения и как их использовать?
Определение понятия
Какое выражение является числовым в алгебре? Так обозначают запись, составленную из цифр, скобок и знаков вычитания, умножения, деления, сложения.
Понятие числового выражения допустимо только в том случае, если запись несет смысловую нагрузку. К примеру, запись 4-) не является числовым выражением, так как она бессмысленна.
Примеры числовых выражений:
- 25х13;
- 32-4+8;
- 12х(25-5).
Характеристики понятия
Числовое выражение имеет несколько свойств, которые используются в решении примеров и задач. Рассмотрим эти свойства подробнее. Для этого возьмем такой пример – 45+21-(6х2).
Значение
Так как числовое выражение содержит знаки различных арифметических действий, их можно выполнить и получить в результате какое-то число. Оно называется значением числового выражения. Как производится вычисление значений числового выражения? Оно соответствует правилам выполнения арифметических действий:
- в выражениях без скобок выполняют действия, начиная с высших ступеней – умножение, деление, сложение, вычитание;
- если имеется несколько одинаковых действий, их выполняют слева направо;
- если есть скобки, сначала выполняют действия в них;
- при вычислении дробей сначала выполняют действия в числителе и знаменателе, а затем числитель делят на знаменатель.
Применим эти правила к нашему примеру.
- Сначала найдем значение в скобках: 6х2=12.
- Затем произведем сложение: 45+21=66.
- Последним действием найдем разность: 66-12=54.
Итак, число 54 будет являться значением выражения 45+21-(6х2).
Для того, чтобы правильно прочитать числовое выражение нужно определить, какое действие будет являться последним в подсчетах. В выражении 45+21-(6х2) последним действием было вычитание. Соответственно, называть это выражение нужно “разность”. Если бы вместо знака “-” стоял знак “+”, выражение называли бы суммой.
Если у выражения невозможно произвести подсчет значения, его называют не имеющим смысла. Например, смысла не имеет такое выражение: 12:(4-4). В скобках разность равна нулю. А по правилам математики на нуль делить нельзя. Значит, найти значение выражения невозможно.
Равенство
Так называют запись, в которой два числовых выражения разделены знаком “=”. Например, 45+21-(6х2)=66-12. Обе части записи равны числу 54, а значит, они равны друг другу. Такое равенство называют верным.
Если же написать 45+21-(6х2)=35+12, это равенство будет неверным. В левой части равенства значение выражения равно 54, а в правой – 57. эти числа не равны друг другу, значит, и равенство неверное.
Пример задачи
Для того, чтобы лучше понять тему, рассмотрим пример решения задачи. Как решить задачу числовым выражением?
Дано: две машины выезжают из одного пункта в другой. Они поедут по разным дорогам. Одной машине предстоит проехать 35 км., а другой – 42 км. Первая машина едет со скоростью 70 км/ч, а вторая – 84 км/ч Окажутся ли они в конечном пункте в одно и то же время?
Решение: нужно составить два числовых выражения, чтобы найти время в пути у каждой машины. Если они окажутся одинаковыми, значит, машины придут в конечный пункт одновременно. Для того, чтобы найти время, нужно расстояние разделить на скорость. 35 км:70 км/ч=0,5 ч. 42 км:84 км/ч=0,5 ч.
Итак, обе машины приехали в конечный пункт через полчаса.
Что мы узнали?
Из темы по алгебре, изучаемой в 7 классе, мы узнали, что числовое выражение – это запись из цифр и знаков арифметических действий. С помощью числовых выражений можно решать задачи. Если последним действием в числовом выражении было вычитание, то его называют “разность”. Если вместо знака “-” стоит знак “+”, выражение называется суммой.
Числовое выражение – это любая запись из чисел, знаков арифметических действий и скобок. Числовое выражение может состоять и просто из одного числа. Напомним, что основными арифметическими действиями являются «сложение», «вычитание», «умножение» и «деление». Этим действиям соответствуют знаки «+», «-», «∙», «:».
Конечно же, чтобы у нас получилось числовое выражение, запись из чисел и арифметических знаков должна быть осмысленной. Так, например, такую запись 5: + ∙ нельзя назвать числовым выражением, так как это случайный набор символов, не имеющий смысла. Напротив, 5 + 8 ∙ 9 - уже настоящее числовое выражение.
Значение числового выражения.
Сразу скажем, что если мы выполним действия указанные в числовом выражении, то в результате мы получим число. Это число называется значением числового выражения .
Попробуем вычислить, что у нас получится в результате выполнения действий нашего примера. Согласно порядку выполнения арифметических действий , сначала выполним операцию умножения. Умножим 8 на 9. Получим 72. Теперь сложим 72 и 5. Получим 77.
Итак, 77 – значение
числового выражения 5 + 8 ∙ 9.
Числовое равенство.
Можно это записать таким образом: 5 + 8 ∙ 9 = 77. Здесь мы впервые использовали знак «=» («Равно»). Такая запись, при которой два числовых выражения разделены знаком «=», называется числовым равенством
. При этом, если значения левой и правой части равенства совпадают, то равенство называют верным
. 5 + 8 ∙ 9 = 77 – верное равенство.
Если же мы напишем 5 + 8 ∙ 9 = 100, то это уже будет неверное равенство
, так как значения левой и правой части данного равенства уже не совпадают.
Следует отметить, что в числовом выражении мы также можем использовать скобки. Скобки влияют на порядок выполнения действий. Так, например, видоизменим наш пример, добавив скобки: (5 + 8) ∙ 9. Теперь сначала нужно сложить 5 и 8. Получим 13. А затем умножить 13 на 9. Получим 117. Таким образом, (5 + 8) ∙ 9 = 117.
117 – значение
числового выражения (5 + 8) ∙ 9.
Чтобы правильно прочитать выражение, нужно определить какое именно действие выполняется последним для вычисления значения данного числового выражения. Так, если последнее действие вычитание, то выражение называют «разностью». Соответственно, если последнее действие сумма - «суммой», деление – «частным», умножение – «произведением», возведение в степень – «степенью».
Например, числовое выражение (1+5)(10-3) читается так: «произведение суммы чисел 1 и 5 на разность чисел 10 и 3».
Примеры числовых выражений.
Приведем пример более сложного числового выражения:
\[\left(\frac{1}{4}+3,75 \right):\frac{1,25+3,47+4,75-1,47}{4\centerdot 0,5}\]
В данном числовом выражении используются простые числа, обыкновенные и десятичные дроби. Также используются знаки сложения, вычитания, умножения и деления. Черта дроби также заменяет знак деления. При кажущейся сложности, найти значение данного числового выражения довольно просто. Главное уметь выполнять операции с дробями, а также внимательно и аккуратно делать вычисления, соблюдая порядок выполнения действий.
В скобках у нас выражение $\frac{1}{4}+3,75$ . Преобразуем десятичную дробь 3,75 в обыкновенную.
$3,75=3\frac{75}{100}=3\frac{3}{4}$
Итак, $\frac{1}{4}+3,75=\frac{1}{4}+3\frac{3}{4}=4$
Далее, в числителе дроби \[\frac{1,25+3,47+4,75-1,47}{4\centerdot 0,5}\] у нас выражение 1,25+3,47+4,75-1,47. Для упрощения данного выражения применим переместительный закон сложения, который гласит: «От перемены мест слагаемых сумма не изменяется». То есть, 1,25+3,47+4,75-1,47=1,25+4,75+3,47-1,47=6+2=8.
В знаменателе дроби выражение $4\centerdot 0,5=4\centerdot \frac{1}{2}=4:2=2$
Получаем $\left(\frac{1}{4}+3,75 \right):\frac{1,25+3,47+4,75-1,47}{4\centerdot 0,5}=4:\frac{8}{2}=4:4=1$
Когда числовые выражения не имеют смысла?
Рассмотрим еще один пример. В знаменателе дроби $\frac{5+5}{3\centerdot 3-9}$ значением выражения $3\centerdot 3-9$ является 0. А, как мы знаем, деление на нуль невозможно. Следовательно, у дроби $\frac{5+5}{3\centerdot 3-9}$ нет значения. Про числовые выражения, у которых нет значения, говорят, что они «не имеют смысла».
Если мы в числовом выражении помимо чисел будем использовать буквы, то у нас получится уже алгебраическое выражение .
Дата публикации: 30.08.2014 10:58 UTC
- Геометрия, решебник к книге Балаяна Э.Н. «Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ: 7-9 классы», 7 класс, Балаян Э.Н., 2019
- Тренажёр по геометрии, 7 класс, к учебнику Атанасяна Л.С. и др. «Геометрия. 7-9 классы», ФГОС, Глазков Ю.А., Егупова М.В., 2019
В данной статье рассмотрено, как находить значения математических выражений. Начнем с простых числовых выражений и далее будем рассматривать случаи по мере возрастания их сложности. В конце приведем выражение, содержащее буквенные обозначения, скобки, корни, специальные математические знаки, степени, функции и т.д. Всю теорию, по традиции, снабдим обильными и подробными примерами.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Как найти значение числового выражения?
Числовые выражения, помимо прочего, помогают описывать условие задачи математическим языком. Вообще математические выражения могут быть как очень простыми, состоящими из пары чисел и арифметических знаков, так и очень сложными, содержащими функции, степени, корни, скобки и т.д. В рамках задачи часто необходимо найти значение того или иного выражения. О том, как это делать, и пойдет речь ниже.
Простейшие случаи
Это случаи, когда выражение не содержит ничего, кроме чисел и арифметических действий. Для успешного нахождения значений таких выражений понадобятся знания порядка выполнения арифметических действий без скобок, а также умение выполнять действия с различными числами.
Если в выражении есть только числа и арифметические знаки " + " , " · " , " - " , " ÷ " , то действия выполняются слева направо в следующем порядке: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание. Приведем примеры.
Пример 1. Значение числового выражения
Пусть нужно найти значения выражения 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3 .
Выполним сначала умножение и деление. Получаем:
14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3 .
Теперь проводим вычитание и получаем окончательный результат:
14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .
Пример 2. Значение числового выражения
Вычислим: 0 , 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 .
Сначала выполняем преобразование дробей, деление и умножение:
0 , 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12
1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 · 4 11 · 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9 .
Теперь займемся сложением и вычитанием. Сгруппируем дроби и приведем их к общему знаменателю:
1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .
Искомое значение найдено.
Выражения со скобками
Если выражение содержит скобки, то они определяют порядок действий в этом выражении. Сначала выполняются действия в скобках, а потом уже все остальные. Покажем это на примере.
Пример 3. Значение числового выражения
Найдем значение выражения 0 , 5 · (0 , 76 - 0 , 06) .
В выражении присутствуют скобки, поэтому сначала выполняем операцию вычитания в скобках, а уже потом - умножение.
0 , 5 · (0 , 76 - 0 , 06) = 0 , 5 · 0 , 7 = 0 , 35 .
Значение выражений, содержащих скобки в скобках, находится по такому же принципу.
Пример 4. Значение числового выражения
Вычислим значение 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 - 1 4 .
Выполнять действия будем начиная с самых внутренних скобок, переходя к внешним.
1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 - 1 4 = 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 3 4
1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 3 4 = 1 + 2 · 1 + 2 · 2 , 5 = 1 + 2 · 6 = 13 .
В нахождении значений выражений со скобками главное - соблюдать последовательность действий.
Выражения с корнями
Математические выражения, значения которых нам нужно найти, могут содержать знаки корня. Причем, само выражение может быть под знаком корня. Как быть в таком случае? Сначала нужно найти значение выражения под корнем, а затем извлечь корень из числа, полученного в результате. По возможности от корней в числовых выражениях нужно лучше избавляться, заменяя из на числовые значения.
Пример 5. Значение числового выражения
Вычислим значение выражения с корнями - 2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2 , 2 + 0 , 1 · 0 , 5 .
Сначала вычисляем подкоренные выражения.
2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2
2 , 2 + 0 , 1 · 0 , 5 = 2 , 2 + 0 , 05 = 2 , 25 = 1 , 5 .
Теперь можно вычислить значение всего выражения.
2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2 , 2 + 0 , 1 · 0 , 5 = 2 + 3 · 1 , 5 = 6 , 5
Часто найти значение выражения с корнями часто нужно сначала провести преобразование исходного выражения. Поясним это на еще одном примере.
Пример 6. Значение числового выражения
Сколько будет 3 + 1 3 - 1 - 1
Как видим, у нас нет возможности заменить корень точным значением, что усложняет процесс счета. Однако, в данном случае можно применить формулу сокращенного умножения.
3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .
Таким образом:
3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .
Выражения со степенями
Если в выражении имеются степени, их значения нужно вычислить прежде, чем приступать ко всем остальным действиям. Бывает так, что сам показатель или основание степени являются выражениями. В таком случае, сначала вычисляют значение этих выражений, а затем уже значение степени.
Пример 7. Значение числового выражения
Найдем значение выражения 2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 · 1 4 .
Начинаем вычислять по порядку.
2 3 · 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4
16 · 1 - 1 2 3 , 5 - 2 · 1 4 = 16 * 0 , 5 3 = 16 · 1 8 = 2 .
Осталось только провести операцию сложение и узнать значение выражения:
2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 · 1 4 = 4 + 2 = 6 .
Также часто целесообразно бывает провести упрощение выражения с использованием свойств степени.
Пример 8. Значение числового выражения
Вычислим значение следующего выражения: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .
Показатели степеней опять таковы, что их точные числовые значения получить не удастся. Упростим исходное выражение, чтобы найти его значение.
2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 · 2 2 5 - 1 + 3 1 3 · 6
2 - 2 5 · 2 2 5 - 1 + 3 1 3 · 6 = 2 - 2 5 · 2 2 · 5 - 2 + 3 2 = 2 2 · 5 - 2 - 2 5 + 3 2
2 2 · 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4
Выражения с дробями
Если выражение содержит дроби, то при вычислении такого выражения все дроби в нем нужно представить в виде обыкновенных дробей и вычислить их значения.
Если в числителе и знаменателе дроби присутствуют выражения, то сначала вычисляются значения этих выражений, и записывается финальное значение самой дроби. Арифметические действия выполняются в стандартном порядке. Рассмотрим решение примера.
Пример 9. Значение числового выражения
Найдем значение выражения, содержащего дроби: 3 , 2 2 - 3 · 7 - 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 .
Как видим, в исходном выражении есть три дроби. Вычислим сначала их значения.
3 , 2 2 = 3 , 2 ÷ 2 = 1 , 6
7 - 2 · 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6
1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1 .
Перепишем наше выражение и вычислим его значение:
1 , 6 - 3 · 1 6 ÷ 1 = 1 , 6 - 0 , 5 ÷ 1 = 1 , 1
Часто при нахождении значений выражений удобно бывает проводить сокращение дробей. Существует негласное правило: любое выражение перед нахождением его значения лучше всего упростить по максимуму, сводя все вычисления к простейшим случаям.
Пример 10. Значение числового выражения
Вычислим выражение 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 .
Мы не можем нацело извлечь корень из пяти, однако можем упростить исходное выражение путем преобразований.
2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4
Исходное выражение принимает вид:
2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .
Вычислим значение этого выражения:
2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .
Выражения с логарифмами
Когда в выражении присутствуют логарифмы, их значение, если это возможно, вычисляется с самого начала. К примеру, в выражении log 2 4 + 2 · 4 можно сразу вместо log 2 4 записать значение этого логарифма, а потом выполнить все действия. Получим: log 2 4 + 2 · 4 = 2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10 .
Под самим знаком логарифма и в его основании также могут находится числовые выражения. В таком случае, первым делом находятся их значения. Возьмем выражение log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 . Имеем:
log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10 .
Если же вычислить точное значение логарифма невозможно, упрощение выражения помогает найти его значение.
Пример 11. Значение числового выражения
Найдем значение выражения log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 .
log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .
По свойству логарифмов:
log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 · 3) = log 6 6 = 1 .
Вновь применяя свойства логарифмов, для последней дроби в выражении получим:
log 5 729 log 0 , 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2 .
Теперь можно переходить к вычислению значения исходного выражения.
log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2 .
Выражения с тригонометрическими функциями
Бывает, что в выражении есть тригонометрические функции синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также функции, обратные им. Из значения вычисляются перед выполнением всех остальных арифметических действий. В противном случае, выражение упрощается.
Пример 12. Значение числового выражения
Найдите значение выражения: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ .
Сначала вычисляем значения тригонометрических функций, входящих в выражение.
sin - 5 π 2 = - 1
Подставляем значения в выражение и вычисляем его значение:
t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ = 3 2 - (- 1) + (- 1) = 3 + 1 - 1 = 3 .
Значение выражения найдено.
Часто для того, чтобы найти значение выражения с тригонометрическими функциями, его предварительно нужно преобразовать. Поясним на примере.
Пример 13. Значение числового выражения
Нужно найти значение выражения cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 .
Для преобразования будем использовать тригонометрические формулы косинуса двойного угла и косинуса суммы.
cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos π 4 - 1 = 1 - 1 = 0 .
Общий случай числового выражения
В общем случае тригонометрическое выражение может содержать все вышеописанные элементы: скобки, степени, корни, логарифмы, функции. Сформулируем общее правило нахождения значений таких выражений.
Как найти значение выражения
- Корни, степени, логарифмы и т.д. заменяются их значениями.
- Выполняются действия в скобках.
- Оставшиеся действия выполняются по порядку слева направо. Сначала - умножение и деление, затем - сложение и вычитание.
Разберем пример.
Пример 14. Значение числового выражения
Вычислим, чему равно значение выражения - 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 .
Выражение довольно сложное и громоздкое. Мы не случайно выбрали именно такой пример, постаравшись уместить в него все описанные выше случаи. Как найти значение такого выражения?
Известно, что при вычислении значения сложного дробного вида, сначала отдельно находятся значения числителя и знаменателя дроби соответственно. Будем последовательно преобразовывать и упрощать данное выражение.
Первым делом вычислим значение подкоренного выражения 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 . Чтобы сделать это, нужно найти значение синуса, и выражения, которое является аргументом тригонометрической функции.
π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 · 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 · 5 π 5 = π 6 + 2 π
Теперь можно узнать значение синуса:
sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2 .
Вычисляем значение подкоренного выражения:
2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 · 1 2 + 3 = 4
2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2 .
Со знаменателем дроби все проще:
Теперь мы можем записать значение всей дроби:
2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1 .
С учетом этого, запишем все выражение:
1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .
Окончательный результат:
2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27 .
В данном случае мы смогли вычислить точные значения корней, логарифмов, синусов и т.д. Если такой возможности нет, можно попробовать избавиться от них путем математических преобразований.
Вычисление значений выражений рациональными способами
Вычислять значения числовых нужно последовательно и аккуратно. Данный процесс можно рационализировать и ускорить, используя различные свойства действий с числами. К примеру, известно, что произведение равно нулю, если нулю равен хотя бы один из множителей. С учетом этого свойства, можно сразу сказать, что выражение 2 · 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 · 0 равно нулю. При этом, вовсе не обязательно выполнять действия по порядку, описанному в статье выше.
Также удобно использовать свойство вычитания равных чисел. Не выполняя никаких действий, можно заказать, что значение выражения 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 также равно нулю.
Еще один прием, позволяющий ускорить процесс - использование тождественных преобразований таких как группировка слагаемых и множителей и вынесение общего множителя за скобки. Рациональный подход к вычислению выражений с дробями - сокращение одинаковых выражений в числителе и знаменателе.
Например, возьмем выражение 2 3 - 1 5 + 3 · 289 · 3 4 3 · 2 3 - 1 5 + 3 · 289 · 3 4 . Не выполняя действий в скобках, а сокращая дробь, можно сказать, что значение выражения равно 1 3 .
Нахождение значений выражений с переменными
Значение буквенного выражения и выражения с переменными находится для конкретных заданных значений букв и переменных.
Нахождение значений выражений с переменными
Чтобы найти значение буквенного выражения и выражения с переменными, нужно в исходное выражение подставить заданные значения букв и переменных, после чего вычислить значение полученного числового выражения.
Пример 15. Значение выражения с переменными
Вычислить значение выражения 0 , 5 x - y при заданных x = 2 , 4 и y = 5 .
Подставляем значения переменных в выражение и вычисляем:
0 , 5 x - y = 0 , 5 · 2 , 4 - 5 = 1 , 2 - 5 = - 3 , 8 .
Иногда можно так преобразовать выражение, чтобы получить его значение независимо от значений входящих в него букв и переменных. Для этого от букв и переменных в выражении нужно по возможности избавиться, используя тождественные преобразования, свойства арифметических действий и все возможные другие способы.
Например, выражение х + 3 - х, очевидно, имеет значение 3 , и для вычисления этого значения совсем необязательно знать значение переменной икс. Значение данного выражения равно трем для всех значений переменной икс из ее области допустимых значений.
Еще один пример. Значение выражения x x равно единице для всех положительных иксов.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter