Одной из важнейших наук, применение которой можно увидеть в таких дисциплинах, как химия, физика и даже биология, является математика. Изучение этой науки позволяет развить некоторые умственные качества, улучшить и способность концентрироваться. Одна из тем, которые заслуживают отдельного внимания в курсе «Математика» - сложение и вычитание дробей. У многих учеников ее изучение вызывает затруднение. Возможно, наша статья поможет лучше понять эту тему.
Как вычесть дроби, знаменатели которых одинаковые
Дроби - это те же числа, с которыми можно производить различные действия. Их отличие от целых чисел заключается в присутствии знаменателя. Именно поэтому при выполнении действий с дробями нужно изучить некоторые их особенности и правила. Наиболее простым случаем является вычитание обыкновенных дробей, знаменатели которых представлены в виде одинакового числа. Выполнить это действие не составит особого труда, если знать простое правило:
- Для того чтобы из одной дроби вычесть вторую, необходимо из числителя уменьшаемой дроби вычесть числитель вычитаемой дроби. Это число записываем в числитель разницы, а знаменатель оставляем тот же: k/m - b/m = (k-b)/m.
Примеры вычитания дробей, знаменатели которых одинаковы
7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.
От числителя уменьшаемой дроби «7» отнимаем числитель вычитаемой дроби «3», получаем «4». Это число мы записываем в числитель ответа, а в знаменатель ставим то же число, что было в знаменателях первой и второй дроби - «19».
На картинке ниже приведено еще несколько подобных примеров.
Рассмотрим более сложный пример, где произведено вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:
29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.
От числителя уменьшаемой дроби «29» отниманием по очереди числители всех последующих дробей - «3», «8», «2», «7». В итоге получаем результат «9», который записываем в числитель ответа, а в знаменатель записываем то число, которое находится в знаменателях всех этих дробей, - «47».
Сложение дробей, имеющих одинаковый знаменатель
Сложение и вычитание обыкновенных дробей осуществляется по одному и тому же принципу.
- Для того чтобы сложить дроби, знаменатели которых одинаковы, необходимо числители сложить. Полученное число - числитель суммы, а знаменатель останется тот же: k/m + b/m = (k + b)/m.
Рассмотрим, как это выглядит на примере:
1/4 + 2/4 = 3/4.
К числителю первой слагаемой дроби - «1» - добавляем числитель второй слагаемой дроби - «2». Результат - «3» - записываем в числитель суммы, а знаменатель оставляем тот же, что присутствовал в дробях, - «4».
Дроби с различными знаменателями и их вычитание
Действие с дробями, которые имеют одинаковый знаменатель, мы уже рассмотрели. Как видим, зная простые правила, решить подобные примеры достаточно легко. Но что делать, если необходимо произвести действие с дробями, которые имеют различные знаменатели? Многие учащиеся средних школ приходят в затруднение перед такими примерами. Но и здесь, если знать принцип решения, примеры уже не будут представлять для вас сложности. Здесь также существует правило, без которого решение подобных дробей просто невозможно.
- 2/3 - в знаменателе не хватает одной тройки и одной двойки:
2/3 = (2 х 3 х 2)/(3 х 3 х 2) = 12/18. - 7/9 или 7/(3 х 3) - в знаменателе не хватает двойки:
7/9 = (7 х 2)/(9 х 2) = 14/18. - 5/6 или 5/(2 х 3) - в знаменателе не хватает тройки:
5/6 = (5 х 3)/(6 х 3) = 15/18. - Число 18 состоит из 3 х 2 х 3.
- Число 15 состоит из 5 х 3.
- Общее кратное будет состоять из следующих множителей 5 х 3 х 3 х 2 = 90.
- 90 поделить на 15. Полученное число «6» будет множителем для 3/15.
- 90 поделить на 18. Полученное число «5» будет множителем для 4/18.
- Все дроби, имеющие целую часть, перевести в неправильные. Говоря простыми словами, убрать целую часть. Для этого число целой части умножаем на знаменатель дроби, полученное произведение добавляем к числителю. То число, которое получится после этих действий, - числитель неправильной дроби. Знаменатель же остается неизменным.
- Если дроби имеют различные знаменатели, следует привести их к одинаковому.
- Произвести сложение или вычитание с одинаковыми знаменателями.
- При получении неправильной дроби выделить целую часть.
Чтобы произвести вычитание дробей с разными знаменателями, необходимо их привести к одинаковому наименьшему знаменателю.
О том, как это сделать, мы поговорим подробнее.
Свойство дроби
Для того чтобы несколько дробей привести к одинаковому знаменателю, нужно использовать в решении главное свойство дроби: после деления или умножения числителя и знаменателя на одинаковое число получится дробь, равная данной.
Так, например, дробь 2/3 может иметь такие знаменатели, как «6», «9», «12» и т. д., то есть она может иметь вид любого числа, которое кратно «3». После того как числитель и знаменатель мы умножим на «2», получится дробь 4/6. После того как числитель и знаменатель исходной дроби мы умножим на «3», получим 6/9, а если аналогичное действие произвести с цифрой «4», получим 8/12. Одним равенством это можно записать так:
2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…
Как привести несколько дробей к одному и тому же знаменателю
Рассмотрим, как привести несколько дробей к одному и тому же знаменателю. Для примера возьмем дроби, приведенные на картинке ниже. Для начала необходимо определить, какое число может стать знаменателем для их всех. Для облегчения разложим имеющиеся знаменатели на множители.
Знаменатель дроби 1/2 и дроби 2/3 на множители разложить нельзя. Знаменатель 7/9 имеет два множителя 7/9 = 7/(3 х 3), знаменатель дроби 5/6 = 5/(2 х 3). Теперь необходимо определить, какие же множители будут наименьшими для всех этих четырех дробей. Так как в первой дроби в знаменателе имеется число «2», значит, оно должно присутствовать во всех знаменателях, в дроби 7/9 присутствуют две тройки, значит, они также обе должны присутствовать в знаменателе. Учитывая вышесказанное, определяем, что знаменатель состоит из трех множителей: 3, 2, 3 и равен 3 х 2 х 3 = 18.
Рассмотрим первую дробь - 1/2. В ее знаменателе имеется «2», но нет ни одной цифры «3», а должно быть две. Для этого мы знаменатель умножаем на две тройки, но, согласно свойству дроби, мы и числитель должны умножить на две тройки:
1/2 = (1 х 3 х 3)/(2 х 3 х 3) = 9/18.
Аналогично производим действия с оставшимися дробями.
Все вместе это выглядит так:
Как вычесть и сложить дроби, имеющие различные знаменатели
Как уже говорилось выше, для того чтобы произвести сложение или вычитание дробей, имеющих различные знаменатели, их необходимо привести к одному знаменателю, а дальше воспользоваться правилами вычитания дробей, имеющих одинаковый знаменатель, о котором уже рассказывалось.
Рассмотрим это на примере: 4/18 - 3/15.
Находим кратное чисел 18 и 15:
После того как знаменатель будет найден, необходимо вычислить множитель, который будет отличным для каждой дроби, то есть то число, на которое необходимо будет умножить не только знаменатель, но и числитель. Для этого число, которое мы нашли (общее кратное), делим на знаменатель той дроби, у которой нужно определить дополнительные множители.
Следующий этап нашего решения - приведение каждой дроби к знаменателю «90».
Как это делается, мы уже говорили. Рассмотрим, как это записывается в примере:
(4 х 5)/(18 х 5) - (3 х 6)/(15 х 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.
Если дроби с маленькими числами, то можно общий знаменатель определить, как в примере, приведенном на картинке ниже.
Аналогично производится и имеющих различные знаменатели.
Вычитание и имеющих целые части
Вычитание дробей и их сложение мы уже детально разобрали. Но как произвести вычитание, если у дроби есть целая часть? Опять же, воспользуемся несколькими правилами:
Есть и иной способ, при помощи которого можно осуществить сложение и вычитание дробей с целыми частями. Для этого производятся отдельно действия с целыми частями, и отдельно действия с дробями, а результаты записываются вместе.
Приведенный пример состоит из дробей, которые имеют одинаковый знаменатель. В том случае, когда знаменатели различны, их необходимо привести к одинаковому, а далее выполнить действия, как показано на примере.
Вычитание дробей из целого числа
Еще одной из разновидностей действий с дробями является тот случай, когда дробь необходимо отнять от На первый взгляд подобный пример кажется трудно решаемым. Однако здесь все довольно просто. Для его решения необходимо перевести целое число в дробь, причем с таким знаменателем, который имеется в вычитаемой дроби. Далее производим вычитание, аналогичное вычитанию с одинаковыми знаменателями. На примере это выглядит так:
7 - 4/9 = (7 х 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.
Приведенное в этой статье вычитание дробей (6 класс) является основой для решения более сложных примеров, которые рассматриваются в последующих классах. Знания этой темы используются впоследствии для решения функций, производных и так далее. Поэтому очень важно разобраться и понять действия с дробями, рассматриваемые выше.
Инструкция
Приведение к общему знаменателю.
Пусть даны дроби a/b и c/d.
Числитель и знаменатель первой дроби умножается на НОК/b
Числитель и знаменатель второй дроби умножается на НОК/d
Пример приведён на рисунке.
Для сравнения дробей их необходимо к общему знаменателю, затем сравнить числители. Например, 3/4 < 4/5, см. .
Сложение и вычитание дробей.
Для нахождения суммы двух обыкновенных дробей их необходимо привести к общему знаменателю, после чего сложить числители, знаменатель без изменений. Пример сложения дробей 1/2 и 1/3 приведён на рисунке.
Разность дробей находится аналогичным образом, после нахождения общего знаменателя, числители дробей вычитаются, см. на рисунке.
При умножении обыкновенных дробей, числители и знаменатели перемножаются между собой.
Для того, чтобы разделить две дроби, необходимо дробь второй дроби, т.е. поменять его числитель и знаменатель , после чего произвести умножение полученных дробей.
Видео по теме
Источники:
- дроби 5 класс на примере
- Основные задачи на дроби
Модуль представляет собой абсолютную величину выражения. Для обозначения модуля применяют прямые скобки. Заключенные в них значения считаются взятыми по модулю. Решение модуля состоит в раскрытии ных скобок по определенным правилам и нахождении множества значений выражения. В большинстве случаев модуль раскрывается таким образом, что подмодульное выражение получает ряд положительных и отрицательных значений с том числе и нулевое значение. Исходя из данных свойств модуля, составляются и решаются далее уравнения и неравенства исходного выражения.
Инструкция
Запишите исходное уравнение с . Для его раскройте модуль. Рассмотрите каждое подмодульное выражение. Определите, при каком значении входящих в него неизвестных величин выражение в модульных скобках обращается в ноль.
Для этого приравняйте подмодульное выражение к нулю и найдите получившегося уравнения. Запишите найденные значения. Таким же образом определите значения неизвестной переменной для каждого модуля в заданном уравнении.
Нарисуйте числовую прямую и отложите на ней полученные значения. Значения переменной в нулевом модуле будут служить ограничениями при решении модульного уравнения.
В исходном уравнении нужно раскрыть модульные , меняя знак так, чтобы значения переменной соответствовали отображенным на числовой прямой. Решите полученное уравнение. Найденное значение переменной проверьте на ограничение, заданное модулем. Если решение удовлетворяет условию, оно истинно. Не удовлетворяющие ограничениям корни должны отбрасываться.
Аналогичным образом раскрывайте модули исходного выражения с учетом знака и высчитывайте корни получаемого уравнения. Запишите все полученные корни, удовлетворяющие неравенствам ограничения.
Дробные числа позволяют выражать в разном виде точное значение величины. С дробями можно выполнять те же математические операции, что и с целыми числами: вычитание, сложение, умножение и деление. Чтобы научиться решать дроби , надо помнить о некоторых их особенностях. Они зависят от вида дроби , наличия целой части, общего знаменателя. Некоторые арифметические действия после выполнения требуют сокращения дробной части результата.
Вам понадобится
- - калькулятор
Инструкция
Внимательно посмотрите на числа. Если среди дробей есть десятичные и непрвильные, иногда удобнее вначале выполнить действия с десятичными, а затем перевести их в неправильный вид. Можете перевести дроби
в такой вид изначально, записав значение после запятой в числитель и поставив 10 в знаменатель. При необходимости сократите дробь, разделив числа выше и ниже на один делитель. Дроби, в которых выделяется целая часть, приведите к неправильному виду, умножив её на знаменатель и прибавив к результату числитель. Данное значения станет новым числителем дроби
. Чтобы выделить целую часть из первоначально неправильной дроби
, надо поделить числитель на знаменатель. Целый результат записать от дроби
. А остаток от деления станет новым числителем, знаменатель дроби
при этом не меняется. Для дробей с целой частью возможно выполнение действий отдельно сначала для целой, а затем для дробной частей. Например, сумма 1 2/3 и 2 ¾ может быть вычислена :
- Переведение дробей в неправильный вид:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Суммирование отдельно целых и дробных частей слагаемых:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5/12.
Для с значениями под чертой найдите общий знаменатель. Например, для 5/9 и 7/12 общим знаменателем будет 36. Для этого числитель и знаменатель первой дроби надо умножить на 4 (получится 28/36), а второй – на 3 (получится 15/36). Теперь можете выполнить расчёты.
Если вы собираетесь вычислять сумму или разность дробей, для начала запишите найденный общий знаменатель под черту. Выполните необходимые действия между числителями, а результат запишите над чертой новой дроби . Таким образом, новым числителем станет разность или сумма числителей первоначальных дробей.
Для расчёта произведения дробей перемножьте числители дробей и запишите результат на место числителя итоговой дроби . То же самое проделайте для знаменателей. При делении одной дроби на другую запишите одну дробь, а затем умножьте её числитель на знаменатель второй. При этом знаменатель первой дроби умножается соответственно на числитель второй. При этом происходит своеобразный переворот второй дроби (делителя). Итоговая дробь будет из результатов умножения числителей и знаменателей обеих дробей. Несложно научиться дроби , записанные в условии в виде «четырёхэтажной» дроби . Если разделяет две дроби , перепишите их через разделитель «:» и продолжите обычное деление.
Для получения конечного результата полученную дробь сократите, разделив числитель и знаменатель на одно целое число, наибольшее возможное в данном случае. При этом выше и ниже черты должны быть целые числа.
Обратите внимание
Не выполняйте арифметические действия с дробями, знаменатели которых отличаются. Подберите такое число, чтобы при умножении на него числителя и знаменателя каждой дроби в результате знаменатели обеих дробей были равны.
При записи дробных чисел делимое пишется над чертой. Эта величина обозначается как числитель дроби. Под чертой записывается делитель, или знаменатель, дроби. Например, полтора килограмма риса в виде дроби запишется следующим образом: 1 ½ кг риса. Если знаменатель дроби равен 10, такую дробь называют десятичной. При этом числитель (делимое) пишется справа от целой части через запятую: 1,5 кг риса. Для удобства вычислений такую дробь всегда можно записать в неправильном виде: 1 2/10 кг картофеля. Для упрощения можно сократить значения числителя и знаменателя, поделив их на одно целое число. В данном примере возможно деление на 2. В результате получится 1 1/5 кг картофеля. Удостоверьтесь, что числа, с которыми вы собираетесь выполнять арифметические действия, представлены в одном виде.
Инструкция
Кликните один раз по пункту меню «Вставка», затем выберите пункт «Символ». Это один из самых простых способов вставки дроби в текст. Заключается он в следующем. В наборе готовых символов есть дроби . Их количество, как правило, невелико, но если вам в тексте нужно написать ½, а не 1/2, то для вас подобный вариант будетсамым оптимальным. Кроме того, количество символов дробей может зависеть и от шрифта. Например, для шрифта Times New Roman дробей немного меньше, чем для того же Arial. Варьируйте шрифтами, чтобы найти самый оптимальный вариант, если дело касается простых выражений.
Кликните по пункту меню «Вставка» и выберите подпункт «Объект». Перед вами появится окно с перечнем возможных объектов для вставки. Выберите среди них Microsoft Equation 3.0. Это приложение поможет вам печатать дроби . Причем не только дроби , но и сложные математические выражения, содержащие различные тригонометрические функции и прочие элементы. Дважды кликните по этому объекту левой кнопкой мышки. Перед вами появится окно, содержащее много символов.
Чтобы напечатать дробь, выберите символ изображающий дробь с пустым числителем и знаменателем. Кликните по нему один раз левой кнопкой мыши. Появится дополнительное меню, уточняющее схему самой дроби . Может быть несколько ее вариантов. Выберите наиболее для вас подходящий и кликните по нему один раз левой кнопкой мыши.
В данном разделе рассматриваются действия с обыкновенными дробями. В случае, если необходимо провести математическую операцию со смешанными числами, то достаточно перевести смешанную дробь в необыкновенную, провести необходимые операции и, в случае необходимости, конечный результат снова представить в виде смешанного числа. Данная операция будет описана ниже.
Сокращение дроби
Математическая операция. Сокращение дроби
Чтобы сократить дробь \frac{m}{n} нужно найти наибольший общий делитель ее числителя и знаменателя: НОД(m,n), после чего поделить числитель и знаменатель дроби на это число. Если НОД(m,n)=1, то дробь сократить нельзя. Пример: \frac{20}{80}=\frac{20:20}{80:20}=\frac{1}{4}
Обычно сразу найти наибольший общий делитель представляется сложной задачей и на практике дробь сокращают в несколько этапов, пошагово выделяя у числителя и знаменателя очевидные общие множители. \frac{140}{315}=\frac{28\cdot5}{63\cdot5}=\frac{4\cdot7\cdot5}{9\cdot7\cdot5}=\frac{4}{9}
Приведение дробей к общему знаменателю
Математическая операция. Приведение дробей к общему знаменателю
Чтобы привести две дроби \frac{a}{b} и \frac{c}{d} к общему знаменателю нужно:
- найти наименьшее общее кратное знаменателей: M=НОК(b,d);
- умножить числитель и знаменатель первой дроби на M/b (после чего знаменатель дроби становится равным числу M);
- умножить числитель и знаменатель второй дроби на M/d (после чего знаменатель дроби становится равным числу M).
Тем самым мы преобразуем исходные дроби к дробям с одинаковыми знаменателями (которые будут равны числу M).
Например, дроби \frac{5}{6} и \frac{4}{9} имеют НОК(6,9) = 18. Тогда: \frac{5}{6}=\frac{5\cdot3}{6\cdot3}=\frac{15}{18};\quad\frac{4}{9}=\frac{4\cdot2}{9\cdot2}=\frac{8}{18} . Тем самым полученные дроби имеют общий знаменатель.
На практике нахождение наименьшего общего кратного (НОК) знаменателей является не всегда простой задачей. Поэтому в качестве общего знаменателя выбирается число, равное произведению знаменателей исходных дробей. Например, дроби \frac{5}{6} и \frac{4}{9} приводятся к общему знаменателю N=6\cdot9:
\frac{5}{6}=\frac{5\cdot9}{6\cdot9}=\frac{45}{54};\quad\frac{4}{9}=\frac{4\cdot6}{9\cdot6}=\frac{24}{54}
Сравнение дробей
Математическая операция. Сравнение дробей
Для сравнения двух обыкновенных дробей необходимо:
- сравнить числители получившихся дробей; дробь с большим числителем будет больше.
При сравнении дробей имеются несколько частных случаев:
- Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, числитель которой больше. Например, \frac{3}{15}
- Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, знаменатель которой меньше. Например, \frac{4}{11}>\frac{4}{13}
- Та дробь, у которой одновременно больший числитель и меньший знаменатель , больше. Например, \frac{11}{3}>\frac{10}{8}
Внимание! Правило 1 действует для любых дробей, если их общий знаменатель является положительным числом. Правила 2 и 3 действуют для положительных дробей (у которых и числитель и знаменатель больше нуля).
Сложение и вычитание дробей
Математическая операция. Сложение и вычитание дробей
Чтобы сложить две дроби, нужно:
- привести их к общему знаменателю;
- сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.
Пример: \frac{7}{9}+\frac{4}{7}=\frac{7\cdot7}{9\cdot7}+\frac{4\cdot9}{7\cdot9}=\frac{49}{63}+\frac{36}{63}=\frac{49+36}{63}=\frac{85}{63}
Чтобы из одной дроби вычесть другую, нужно:
- привести дроби к общему знаменателю;
- из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменений.
Пример: \frac{4}{15}-\frac{3}{5}=\frac{4}{15}-\frac{3\cdot3}{5\cdot3}=\frac{4}{15}-\frac{9}{15}=\frac{4-9}{15}=\frac{-5}{15}=-\frac{5}{3\cdot5}=-\frac{1}{3}
Если исходные дроби изначально имеют общий знаменатель, то пункт 1 (приведение к общему знаменателю) пропускается.
Преобразование смешанного числа в неправильную дробь и обратно
Математическая операция. Преобразование смешанного числа в неправильную дробь и обратно
Чтобы преобразовать смешанную дробь в неправильную, достаточно просуммировать целую часть смешанной дроби с дробной частью. Результатом такой суммы станет неправильная дробь, числитель которой равен сумме произведения целой части на знаменатель дроби с числителем смешанной дроби, а знаменатель останется прежним. Например, 2\frac{6}{11}=2+\frac{6}{11}=\frac{2\cdot11}{11}+\frac{6}{11}=\frac{2\cdot11+6}{11}=\frac{28}{11}
Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанное число необходимо:
- поделить числитель дроби на ее знаменатель;
- остаток от деления записать в числитель, а знаменатель оставить прежним;
- результат от деления записать в качестве целой части.
Например, дробь \frac{23}{4} . При делении 23:4=5,75, то есть целая часть 5, остаток от деления равен 23-5*4=3. Тогда смешанное число запишется: 5\frac{3}{4} . \frac{23}{4}=\frac{5\cdot4+3}{4}=5\frac{3}{4}
Преобразование десятичной дроби в обыкновенную
Математическая операция. Преобразование десятичной дроби в обыкновенную
Для того, чтобы обратить десятичную дробь в обыкновенную, надо:
- в качестве знаменателя взять n-ую степень десяти (здесь n – количество десятичных знаков);
- в качестве числителя взять число, стоящее после десятичной точки (если целая часть исходного числа не равна нулю, то брать в том числе и все стоящие впереди нули);
- отличная от нуля целая часть записывается в числителе в самом начале; нулевая целая часть опускается.
Пример 1: 0.0089=\frac{89}{10000} (десятичных знаков 4, поэтому в знаменателе 10 4 =10000, поскольку целая часть равна 0, то в числителе записано число после десятичной точки без начальных нулей)
Пример 2: 31.0109=\frac{310109}{10000} (в числитель записываем число после десятичной точки со всеми нулями: "0109", а затем перед ним дописываем целую часть исходного числа "31")
Если целая часть десятичной дроби отлична от нуля, то её можно перевести в смешанную дробь. Для этого переводим число в обыкновенную дробь как если бы целая часть равнялась нулю (пункты 1 и 2), а целую часть просто переписываем перед дробью - это будет целая часть смешанного числа. Пример:
3.014=3\frac{14}{100}
Чтобы перевести обыкновенную дробь в десятичную, достаточно просто произвести деление числителя на знаменатель. Иногда получится бесконечная десятичная дробь. В этом случае необходимо произвести округление до нужного десятичного знака. Примеры:
\frac{401}{5}=80.2;\quad \frac{2}{3}\approx0.6667
Умножение и деление дробей
Математическая операция. Умножение и деление дробей
Чтобы перемножить две обыкновенные дроби, надо перемножить числители и знаменатели дробей.
\frac{5}{9}\cdot\frac{7}{2}=\frac{5\cdot7}{9\cdot2}=\frac{35}{18}
Чтобы разделить одну обыкновенную дробь на другую, надо умножить первую дробь на дробь, обратную второй (обратная дробь - дробь, в которой поменяны местами числитель и знаменатель).
\frac{5}{9}:\frac{7}{2}=\frac{5}{9}\cdot\frac{2}{7}=\frac{5\cdot2}{9\cdot7}=\frac{10}{63}
В случае, если одна из дробей является натуральным числом, то указанные выше правила умножения и деления остаются в силе. Просто нужно учитывать, что целое число это та же дробь, знаменатель которой равен единице. Например: 3:\frac{3}{7}=\frac{3}{1}:\frac{3}{7}=\frac{3}{1}\cdot\frac{7}{3}=\frac{3\cdot7}{1\cdot3}=\frac{7}{1}=7
Действия с дробями.
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")
Итак, что из себя представляют дроби, виды дробей, преобразования - мы вспомнили. Займёмся главным вопросом.
Что можно делать с дробями? Да всё то, что и с обычными числами. Складывать, вычитать, умножать, делить.
Все эти действия с десятичными дробями ничем не отличаются от действий с целыми числами. Собственно, этим они и хороши, десятичные. Единственно, запятую правильно поставить надо.
Смешанные числа , как я уже говорил, малопригодны для большинства действий. Их всё равно надо переводить в обыкновенные дроби.
А вот действия с обыкновенными дробями похитрее будут. И гораздо важнее! Напомню: все действия с дробными выражениями с буковками, синусами, неизвестными и прочая и прочая ничем не отличаются от действий с обыкновенными дробями ! Действия с обыкновенными дробями - это основа для всей алгебры. Именно по этой причине мы очень подробно разберём здесь всю эту арифметику.
Сложение и вычитание дробей.
Сложить (отнять) дроби с одинаковыми знаменателями каждый сможет (очень надеюсь!). Ну уж совсем забывчивым напомню: при сложении (вычитании) знаменатель не меняется. Числители складываются (вычитаются) и дают числитель результата. Типа:
Короче, в общем виде:
А если знаменатели разные? Тогда, используя основное свойство дроби (вот оно и опять пригодилось!), делаем знаменатели одинаковыми! Например:
Здесь нам из дроби 2/5 пришлось сделать дробь 4/10. Исключительно с целью сделать знаменатели одинаковыми. Замечу, на всякий случай, что 2/5 и 4/10 это одна и та же дробь ! Только 2/5 нам неудобно, а 4/10 очень даже ничего.
Кстати, в этом суть решений любых заданий по математике. Когда мы из неудобного выражения делаем то же самое, но уже удобное для решения .
Ещё пример:
Ситуация аналогичная. Здесь мы из 16 делаем 48. Простым умножением на 3. Это всё понятно. Но вот нам попалось что-нибудь типа:
Как быть?! Из семёрки девятку трудно сделать! Но мы умные, мы правила знаем! Преобразуем каждую дробь так, чтобы знаменатели стали одинаковыми. Это называется «приведём к общему знаменателю»:
Во как! Откуда же я узнал про 63? Очень просто! 63 это число, которое нацело делится на 7 и 9 одновременно. Такое число всегда можно получить перемножением знаменателей. Если мы какое-то число умножили на 7, к примеру, то результат уж точно на 7 делиться будет!
Если надо сложить (вычесть) несколько дробей, нет нужды делать это попарно, по шагам. Просто надо найти знаменатель, общий для всех дробей, и привести каждую дробь к этому самому знаменателю. Например:
И какой же общий знаменатель будет? Можно, конечно, перемножить 2, 4, 8, и 16. Получим 1024. Кошмар. Проще прикинуть, что число 16 отлично делится и на 2, и на 4, и на 8. Следовательно, из этих чисел легко получить 16. Это число и будет общим знаменателем. 1/2 превратим в 8/16, 3/4 в 12/16, ну и так далее.
Кстати, если за общий знаменатель взять 1024, тоже всё получится, в конце всё посокращается. Только до этого конца не все доберутся, из-за вычислений...
Дорешайте уж пример самостоятельно. Не логарифм какой... Должно получиться 29/16.
Итак, со сложением (вычитанием) дробей ясно, надеюсь? Конечно, проще работать в сокращённом варианте, с дополнительными множителями. Но это удовольствие доступно тем, кто честно трудился в младших классах... И ничего не забыл.
А сейчас мы поделаем те же самые действия, но не с дробями, а с дробными выражениями . Здесь обнаружатся новые грабли, да...
Итак, нам надо сложить два дробных выражения:
Надо сделать знаменатели одинаковыми. Причём только с помощью умножения ! Уж так основное свойство дроби велит. Поэтому я не могу в первой дроби в знаменателе к иксу прибавить единицу. (а вот бы хорошо было!). А вот если перемножить знаменатели, глядишь, всё и срастётся! Так и записываем, черту дроби, сверху пустое место оставим, потом допишем, а снизу пишем произведение знаменателей, чтобы не забыть:
И, конечно, ничего в правой части не перемножаем, скобки не открываем! А теперь, глядя на общий знаменатель правой части, соображаем: чтобы в первой дроби получился знаменатель х(х+1), надо числитель и знаменатель этой дроби умножить на (х+1). А во второй дроби - на х. Получится вот что:
Обратите внимание! Здесь появились скобки! Это и есть те грабли, на которые многие наступают. Не скобки, конечно, а их отсутствие. Скобки появляются потому, что мы умножаем весь числитель и весь знаменатель! А не их отдельные кусочки...
В числителе правой части записываем сумму числителей, всё как в числовых дробях, затем раскрываем скобки в числителе правой части, т.е. перемножаем всё и приводим подобные. Раскрывать скобки в знаменателях, перемножать что-то не нужно! Вообще, в знаменателях (любых) всегда приятнее произведение! Получим:
Вот и получили ответ. Процесс кажется долгим и трудным, но это от практики зависит. Порешаете примеры, привыкните, всё станет просто. Те, кто освоил дроби в положенное время, все эти операции одной левой делают, на автомате!
И ещё одно замечание. Многие лихо расправляются с дробями, но зависают на примерах с целыми числами. Типа: 2 + 1/2 + 3/4= ? Куда пристегнуть двойку? Никуда не надо пристёгивать, надо из двойки дробь сделать. Это не просто, а очень просто! 2=2/1. Вот так. Любое целое число можно записать в виде дроби. В числителе - само число, в знаменателе - единица. 7 это 7/1, 3 это 3/1 и так далее. С буквами - то же самое. (а+в) = (а+в)/1, х=х/1 и т.д. А дальше работаем с этим дробями по всем правилам.
Ну, по сложению - вычитанию дробей знания освежили. Преобразования дробей из одного вида в другой - повторили. Можно и провериться. Порешаем немного?)
Вычислить:
Ответы (в беспорядке):
71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6
Умножение/деление дробей - в следующем уроке. Там же и задания на все действия с дробями.
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
Эта статья представляет собой общий взгляд на действия с дробями. Здесь мы сформулируем и обоснуем правила сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень дробей общего вида A/B , где A и B некоторые числа, числовые выражения или выражения с переменными. По обыкновению материал будем снабжать поясняющими примерами с детальными описаниями решений.
Навигация по странице.
Правила выполнения действий с числовыми дробями общего вида
Давайте договоримся под числовыми дробями общего вида понимать дроби, в которых числитель и/или знаменатель могут быть представлены не только натуральными числами, но и другими числами или числовыми выражениями. Для наглядности приведем несколько примеров таких дробей: , 
.
Нам известны правила, по которым выполняются . По этим же правилам можно выполнять действия с дробями общего вида:
Обоснование правил
Для обоснования справедливости правил выполнения действий с числовыми дробями общего вида можно отталкиваться от следующих моментов:
- дробная черта - это по сути знак деления,
- деление на некоторое отличное от нуля число можно рассматривать как умножение на число, обратное делителю (этим сразу объясняется правило деления дробей),
- свойств действий с действительными числами ,
- и его обобщенном понимании ,
Они позволяют провести следующие преобразования, обосновывающие правила сложения, вычитания дробей с одинаковыми и разными знаменателями, а также правило умножения дробей:
Примеры
Приведем примеры выполнения действия с дробями общего вида по разученным в предыдущем пункте правилам. Сразу скажем, что обычно после проведения действий с дробями полученная дробь требует упрощения, причем процесс упрощения дроби часто сложнее, чем выполнение предшествующих действий. Мы не будем подробно останавливаться на упрощении дробей (соответствующие преобразования разобраны в статье преобразование дробей), чтобы не отвлекаться от интересующей нас темы.
Начнем с примеров сложения и вычитания числовых дробей с одинаковыми знаменателями. Для начала сложим дроби и . Очевидно, знаменатели равны. Согласно соответствующему правилу записываем дробь, числитель которой равен сумме числителей исходных дробей, а знаменатель оставляем прежним, имеем . Сложение выполнено, остается упростить полученную дробь: 
. Итак, 
.
Можно было решение вести по-другому: сначала осуществить переход к обыкновенным дробям, после чего провести сложение. При таком подходе имеем 
.
Теперь вычтем из дроби 
дробь 
. Знаменатели дробей равны, поэтому, действуем по правилу вычитания дробей с одинаковыми знаменателями:
Переходим к примерам сложения и вычитания дробей с разными знаменателями. Здесь главная сложность заключается в приведении дробей к общему знаменателю. Для дробей общего вида это довольно обширная тема, ее мы разберем детально в отдельной статье приведение дробей к общему знаменателю . Сейчас же ограничимся парой общих рекомендаций, так как в данный момент нас больше интересует техника выполнения действий с дробями.
Вообще, процесс схож с приведением к общему знаменателю обыкновенных дробей. То есть, знаменатели представляются в виде произведений, дальше берутся все множители из знаменателя первой дроби и к ним добавляются недостающие множители из знаменателя второй дроби.
Когда знаменатели складываемых или вычитаемых дробей не имеют общих множителей, то в качестве общего знаменателя логично взять их произведение. Приведем пример.
Допустим, нам нужно выполнить сложение дробей и 1/2
. Здесь в качестве общего знаменателя логично взять произведение знаменателей исходных дробей, то есть, . В этом случае дополнительным множителем для первой дроби будет 2
. После умножения на него числителя и знаменателя дробь примет вид . А для второй дроби дополнительным множителем является выражение . С его помощью дробь 1/2
приводится к виду . Остается сложить полученные дроби с одинаковыми знаменателями. Вот краткая запись всего решения:
В случае дробей общего вида речь уже не идет о наименьшем общем знаменателе, к которому обычно приводятся обыкновенные дроби. Хотя в этом вопросе все же желательно стремиться к некоторому минимализму. Этим мы хотим сказать, что не стоит в качестве общего знаменателя сразу брать произведение знаменателей исходных дробей. Например, совсем не обязательно брать общим знаменателем дробей и произведение 
. Здесь в качестве общего знаменателя можно взять .
Переходим к примерам умножения дробей общего вида. Умножим дроби и . Правило выполнения этого действия нам предписывает записать дробь, числитель которой есть произведение числителей исходных дробей, а знаменатель – произведение знаменателей. Имеем 
. Здесь, как и во многих других случаях при умножении дробей, можно сократить дробь: 
.
Правило деления дробей позволяет от деления переходить к умножению на обратную дробь. Здесь нужно помнить, что для того, чтобы получить дробь, обратную данной, нужно переставить местами числитель и знаменатель данной дроби. Вот пример перехода от деления числовых дробей общего вида к умножению: 
. Остается выполнить умножение и упростить полученную в результате дробь (при необходимости смотрите преобразование иррациональных выражений):
Завершая информацию этого пункта, напомним, что любое число или числовое выражение можно представить в виде дроби со знаменателем 1
, поэтому, сложение, вычитание, умножение и деление числа и дроби можно рассматривать как выполнение соответствующего действия с дробями, одна из которых имеет единицу в знаменателе. Например, заменив в выражении 
корень из трех дробью , мы от умножения дроби на число перейдем к умножению двух дробей: 
.
Выполнение действий с дробями, содержащими переменные
Правила из первой части текущей статьи применяются и для выполнения действий с дробями, которые содержат переменные. Обоснуем первое из них – правило сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями, остальные доказываются абсолютно аналогично.
Докажем, что для любых выражений A
, C
и D
(D
тождественно не равно нулю) имеет место равенство 
на его области допустимых значений переменных.
Возьмем некоторый набор переменных из ОДЗ. Пусть при этих значениях переменных выражения A
, C
и D
принимают значения a 0
, c 0
и d 0
. Тогда подстановка значений переменных из выбранного набора в выражение обращает его в сумму (разность) числовых дробей с одинаковыми знаменателями вида , которая по правилу сложения (вычитания) числовых дробей с одинаковыми знаменателями равна . Но подстановка значений переменных из выбранного набора в выражение обращает его в ту же дробь . Это означает, что для выбранного набора значений переменных из ОДЗ значения выражений и равны. Понятно, что значения указанных выражений будут равны и для любого другого набора значений переменных из ОДЗ, а это означает, что выражения и тождественно равны, то есть, справедливо доказываемое равенство .
Примеры сложения и вычитания дробей с переменными
Когда знаменатели складываемых или вычитаемых дробей одинаковые, то все довольно просто – складываются или вычитаются числители, а знаменатель остается прежним. Понятно, что полученная после этого дробь при надобности и возможности упрощается.
Заметим, что иногда знаменатели дробей отличаются лишь с первого взгляда, но по факту являются тождественно равными выражениями, как например, 
и , или и . А иногда достаточно упростить исходные дроби, чтобы «проявились» их одинаковые знаменатели.
Пример.
, б) 
, в) 
.
Решение.
а) Нам нужно выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Согласно соответствующему правилу знаменатель оставляем прежним и вычитаем числители, имеем 
. Действие проведено. Но еще можно раскрыть скобки в числителе и привести подобные слагаемые : 
.
б) Очевидно, знаменатели складываемых дробей одинаковые. Поэтому, складываем числители, а знаменатель оставляем прежним: . Сложение выполнено. Но несложно заметить, что полученную дробь можно сократить. Действительно, числитель полученной дроби можно свернуть по формуле квадрат суммы как (lgx+2) 2
(смотрите формулы сокращенного умножения), таким образом, имеют место следующие преобразования: 
.
в) Дроби в сумме имеют разные знаменатели. Но, преобразовав одну из дробей, можно перейти к сложению дробей с одинаковыми знаменателями. Покажем два варианта решения.
Первый способ. Знаменатель первой дроби можно разложить на множители, воспользовавшись формулой разность квадратов, после чего сократить эту дробь: 
. Таким образом, . Еще не помешает освободиться от иррациональности в знаменателе дроби: 
.
Второй способ. Умножение числителя и знаменателя второй дроби на (это выражение не обращается в нуль ни при каких значениях переменной x
из ОДЗ для исходного выражения) позволяет достичь сразу двух целей: освободиться от иррациональности и перейти к сложению дробей с одинаковыми знаменателями. Имеем
Ответ:
а) 
, б) 
, в) 
.
Последний пример подвел нас к вопросу приведения дробей к общему знаменателю. Там мы почти случайно пришли к одинаковым знаменателям, упрощая одну из складываемых дробей. Но в большинстве случаев при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями приходится целенаправленно приводить дроби к общему знаменателю. Для этого обычно знаменатели дробей представляются в виде произведений, берутся все множители из знаменателя первой дроби и к ним добавляются недостающие множители из знаменателя второй дроби.
Пример.
Выполнить действия с дробями: а) 
, б) , в) 
.
Решение.
а) Здесь нет надобности что-либо делать со знаменателями дробей. В качестве общего знаменателя берем произведение 
. В этом случае дополнительным множителем для первой дроби выступает выражение , а для второй дроби – число 3
. Эти дополнительные множители приводят дроби к общему знаменателю, что в дальнейшем позволяет выполнить нужное нам действие, имеем
б) В этом примере знаменатели уже представлены в виде произведений, и никаких дополнительных преобразований не требуют. Очевидно, множители в знаменателях отличаются лишь показателями степеней, поэтому, в качестве общего знаменателя берем произведение множителей с наибольшими показателями, то есть, 
. Тогда дополнительным множителем для первой дроби будет x 4
, а для второй – ln(x+1)
. Теперь мы готовы выполнить вычитание дробей:
в) А в данном случае для начала поработаем со знаменателями дробей. Формулы разность квадратов и квадрат суммы позволяют от исходной суммы перейти к выражению 
. Теперь понятно, что эти дроби можно привести к общему знаменателю 
. При таком подходе решение будет иметь следующий вид:
Ответ:
а)
б)
в)
Примеры умножения дробей с переменными
Умножение дробей дает дробь, числитель которой есть произведение числителей исходных дробей, а знаменатель – произведение знаменателей. Здесь, как видите, все привычно и просто, и можно лишь добавить, что полученная в результате выполнения этого действия дробь часто оказывается сократимой. В этих случаях ее сокращают, если, конечно, это необходимо и оправданно.